Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a sequência é limitada e monótona. Isso significa que a sequência não vai fugir para mais ou para menos infinito e que ela sempre está aumentando ou sempre diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, limites de sequências e propriedades de sequências monótonas e limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência pra facilitar nosso trabalho. Observamos que:
Isso nos mostra que é igual a um terço mais uma fração que diminui conforme aumenta.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que é sempre positiva e, à medida que aumenta, essa fração fica menor e menor. Então:
E como é positiva, temos que:
Então, a sequência está sempre entre e , ou seja, é limitada.
Passo 4
Vamos agora analisar a monotonicidade, ou seja, se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Olhando para , vemos que à medida que aumenta, diminui porque o denominador está crescendo. Isso significa que está diminuindo conforme aumenta.
Para confirmar, vamos calcular o termo geral e o próximo termo:
Como , então . Logo:
Isso confirma que a sequência é monotonamente decrescente.
Resposta
A sequência é limitada e monotonamente decrescente.