Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(e) a_n = (n^2 + 1) / (3 n^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a sequência é limitada e monótona. Isso significa que a sequência não vai fugir para mais ou para menos infinito e que ela sempre está aumentando ou sempre diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, limites de sequências e propriedades de sequências monótonas e limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência pra facilitar nosso trabalho. Observamos que:
Isso nos mostra que é igual a um terço mais uma fração que diminui conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que é sempre positiva e, à medida que aumenta, essa fração fica menor e menor. Então:
E como é positiva, temos que:
Então, a sequência está sempre entre e , ou seja, é limitada.

Passo 4

Vamos agora analisar a monotonicidade, ou seja, se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Olhando para , vemos que à medida que aumenta, diminui porque o denominador está crescendo. Isso significa que está diminuindo conforme aumenta.
Para confirmar, vamos calcular o termo geral e o próximo termo:
Como , então . Logo:
Isso confirma que a sequência é monotonamente decrescente.

Resposta

A sequência é limitada e monotonamente decrescente.

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5^a Questão: Determine o polinômio p(x) pertence a R[x] com gr(p(x))=2 tal que x = 1 é uma raiz de p(x) e
p(x+1) = p(x) + 4x + 1
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
© a_n = 1/n^2

4^a Questão:ã

(a) Determine as raízes em Z_5 do polinômio p(x) = x^504 + 4 x^415 + 2 x^212 + 2 x^31 + 1 in Z_5[x].
Sugestão: Aplique o Teorema de Fermat ( Seja p um número primo, então a^(p-1) ≡ 1( mód p ∀ a ∈ Z, tal que p não divide a )
Determine: lim x -1 x^2+2 x-12 x+2