Questão: Determine o polinômio
tal que
é uma raiz de
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar um polinômio
de grau 2 (ou seja, quadrático) que satisfaz duas condições:
-
é uma raiz de . Isso significa que, quando substituímos por 1 no polinômio, o resultado é zero: . - A relação funcional
deve ser verdadeira para todo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de polinômios e manipulação algébrica. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a forma geral de um polinômio de grau 2:
Onde
,
e
são coeficientes reais que precisamos determinar.
Passo 3
Sabemos que
é uma raiz de
, então:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda condição:
.
Primeiro, calculemos
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos substituir esse valor na Equação 1:
E também na equação
:
Passo 7
Com
, substituímos na Equação 2 para encontrar
:
Resposta
Então, o polinômio que satisfaz as condições dadas é: