5^a Questão: Determine o polinômio p(x) pertence a R[x] com gr(p(x))=2 tal que x = 1 é uma raiz de p(x) e
p(x+1) = p(x) + 4x + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar um polinômio de grau 2 (ou seja, quadrático) que satisfaz duas condições:
  1. é uma raiz de . Isso significa que, quando substituímos por 1 no polinômio, o resultado é zero: .
  2. A relação funcional deve ser verdadeira para todo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de polinômios e manipulação algébrica. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a forma geral de um polinômio de grau 2:
Onde , e são coeficientes reais que precisamos determinar.

Passo 3

Sabemos que é uma raiz de , então:
Isso nos dá a primeira equação:
çã

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda condição: .
Primeiro, calculemos :
Sabemos que , então:

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de :
é
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 6

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na Equação 1:
çã
E também na equação :

Passo 7

Com , substituímos na Equação 2 para encontrar :

Resposta

Então, o polinômio que satisfaz as condições dadas é:

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