Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando as séries de Maclaurin! O enunciado pede para calcular:
Para isso, vamos precisar expandir as funções
e
em séries de Maclaurin e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as séries de Maclaurin. Elas são expansões em série de uma função em torno de
. Para
e
, as séries de Maclaurin são:
Vamos usar essas fórmulas para expandir
e
.
Passo 3
Vamos expandir
usando a série de Maclaurin para
, substituindo
por
:
Simplificando os termos até
:
Aqui,
indica que os termos de ordem maior que
não são considerados para nosso cálculo.
Passo 4
Agora, vamos expandir
usando a série de Maclaurin para
, substituindo
por
:
Simplificando os termos até
:
Passo 5
Vamos agora substituir as expansões que encontramos na expressão original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão original do limite:
Resposta
O limite vale
.
Exercícios relacionados
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(a)
(a)
Determine o intervalo e o raio de convergência da série de funções, centrada em zero, que representa a função
.
Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de
que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(b)
(b)
Mostre que a série de potências
é convergente no intervalo
e que sua soma é igual a
.