Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(e) lim x 0 ln (1+x^3)-e^x^3+1x^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando as séries de Maclaurin! O enunciado pede para calcular:
lim x 0 ln (1+x^3)-e^x^3+1x^6
Para isso, vamos precisar expandir as funções e em séries de Maclaurin e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as séries de Maclaurin. Elas são expansões em série de uma função em torno de e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + cdots . Para ln(1 + x) = x - x^22 + x^33 - x^44 + cdots e , as séries de Maclaurin são:
Vamos usar essas fórmulas para expandir e .

Passo 3

Vamos expandir ln(1 + x^3) = x^3 - (x^3)^22 + (x^3)^33 - (x^3)^44 + cdots usando a série de Maclaurin para ln(1 + x^3) = x^3 - x^62 + O(x^9) , substituindo por :
Simplificando os termos até :
Aqui, indica que os termos de ordem maior que não são considerados para nosso cálculo.

Passo 4

Agora, vamos expandir e^x^3 = 1 + x^3 + (x^3)^22! + (x^3)^33! + cdots usando a série de Maclaurin para e^x^3 = 1 + x^3 + x^62 + O(x^9) , substituindo por :
Simplificando os termos até :

Passo 5

Vamos agora substituir as expansões que encontramos na expressão original:
ln(1 + x^3) - e^x^3 + 1 = (x^3 - x^62) - (1 + x^3 + x^62) + 1
Simplificando os termos:
x^3 - x^62 - 1 - x^3 - x^62 + 1 = -x^6

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original do limite:
lim x 0 -x^6x^6 = lim x 0 -1 = -1

Resposta

O limite vale .

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