Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação
é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo um sistema massa-mola-amortecedor, que está criticamente amortecido. A equação que descreve esse sistema é:
Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais de segunda ordem e como encontrar as soluções características para sistemas criticamente amortecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Aqui,
é a aceleração,
é a velocidade, e
é a posição.
Passo 3
Agora, vamos identificar os coeficientes para montar a equação característica. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
é:
Comparando com a nossa equação, temos:
Portanto:
Passo 4
Para sistemas criticamente amortecidos, o amortecimento é tal que
. Isso significa que
.
Quando
, a equação característica tem raízes duplas:
Passo 5
Com raízes duplas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que determinam pelas condições iniciais do sistema.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Suponha que em
:
Substituindo
na solução geral:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
derivando a solução geral e aplicando a condição inicial para a velocidade.
Primeiro, derive
:
Simplificando:
Em
:
Sabendo que
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação para um sistema criticamente amortecido é: