Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo um sistema massa-mola-amortecedor, que está criticamente amortecido. A equação que descreve esse sistema é:
Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais de segunda ordem e como encontrar as soluções características para sistemas criticamente amortecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Dividindo toda a equação por para simplificar:
Aqui, é a aceleração, é a velocidade, e é a posição.

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes para montar a equação característica. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
é:
Comparando com a nossa equação, temos:
Portanto:

Passo 4

Para sistemas criticamente amortecidos, o amortecimento é tal que . Isso significa que .
Quando , a equação característica tem raízes duplas:

Passo 5

Com raízes duplas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que determinam pelas condições iniciais do sistema.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Suponha que em :
Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar derivando a solução geral e aplicando a condição inicial para a velocidade.
Primeiro, derive :
Simplificando:
Em :
Sabendo que :

Passo 8

Agora, substituímos e na solução geral:

Resposta

A solução da equação para um sistema criticamente amortecido é:

Exercícios relacionados

Em um sistema fechado, uma partícula de massa e velocidade colide elasticamente com um alvo de massa inicialmete em repouso.
(f) Mostre que a fração de energia cinética perdida pela partícula 1, é:
onde é a massa reduzida ( ) e a massa total do sistema.
Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:
Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica. Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base. Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências, a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 4.1 mm na frequência de excitação de 40 Hz . Usando estas informações estime o fator de amortecimento e o coeficiente de rigidez desta fundação.
Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa 1100 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente . O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 26 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical
行s
UACSA
Universidade Federal Rural de Pernambuco Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Disciplina: Vibrações Mecânicas Professor: Thiago Araujo Simões
com curso de 0.45 m a 500 rpm . O curso é definido como curso = 2e. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, é de 0.01 m . Admitindo amortecimento viscoso, calcular o coeficiente de amortecimento do sistema.