Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação (m ddotx+c dotx+k x=0) é dada por:
x(t)=(x0+(dotx0+omegan x0) t) e^-omegan t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo um sistema massa-mola-amortecedor, que está criticamente amortecido. A equação que descreve esse sistema é:
m ddotx + c dotx + k x = 0
Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
x(t) = (x0 + (dotx0 + omegan x0) t) e^-omegan t
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais de segunda ordem e como encontrar as soluções características para sistemas criticamente amortecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
m ddotx + c dotx + k x = 0
Dividindo toda a equação por ddotx + cm dotx + km x = 0 para simplificar:
Aqui, é a aceleração, é a velocidade, e é a posição.

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes para montar a equação característica. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
ddotx + 2 beta dotx + omegan^2 x = 0
é:
r^2 + 2 beta r + omegan^2 = 0
Comparando com a nossa equação, temos:
2 beta = cm e omegan^2 = km
Portanto:
beta = c2m e omegan = raizkm

Passo 4

Para sistemas criticamente amortecidos, o amortecimento é tal que r = -beta = -omegan . Isso significa que .
Quando , a equação característica tem raízes duplas:

Passo 5

Com raízes duplas, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = (A + Bt) e^-omegan t
Aqui, e são constantes que determinam pelas condições iniciais do sistema.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar x(0) = (A + B cdot 0) e^0 = A = x0 e . Suponha que em :
Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar dotx(t) = B e^-omegan t + (A + Bt)(- omegan) e^-omegan t derivando a solução geral e aplicando a condição inicial para a velocidade.
Primeiro, derive dotx(t) = B e^-omegan t - omegan (A + Bt) e^-omegan t :
dotx(0) = B - omegan A = dotx0
Simplificando:
B - omegan x0 = dotx0 Rightarrow B = dotx0 + omegan x0
Em :
Sabendo que :

Passo 8

Agora, substituímos x(t) = (x0 + (dotx0 + omegan x0) t) e^-omegan t e na solução geral:

Resposta

A solução da equação para um sistema criticamente amortecido é:
x(t) = (x0 + (dotx0 + omegan x0) t) e^-omegan t

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