Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo um sistema massa-mola-amortecedor, que está criticamente amortecido. A equação que descreve esse sistema é:
Nosso objetivo é mostrar que a solução dessa equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais de segunda ordem e como encontrar as soluções características para sistemas criticamente amortecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Dividindo toda a equação por para simplificar:
Aqui, é a aceleração, é a velocidade, e é a posição.
Passo 3
Agora, vamos identificar os coeficientes para montar a equação característica. A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
é:
Comparando com a nossa equação, temos:
Portanto:
Passo 4
Para sistemas criticamente amortecidos, o amortecimento é tal que . Isso significa que .
Quando , a equação característica tem raízes duplas:
Passo 5
Com raízes duplas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que determinam pelas condições iniciais do sistema.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Suponha que em :
Substituindo na solução geral:
Então, .
Passo 7
Agora, vamos encontrar derivando a solução geral e aplicando a condição inicial para a velocidade.
Primeiro, derive :
Simplificando:
Em :
Sabendo que :
Passo 8
Agora, substituímos e na solução geral:
Resposta
A solução da equação para um sistema criticamente amortecido é: