Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra mostrar que, num sistema subamortecido, a solução da equação diferencial é aquela expressão com e definidos. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem, especificamente para sistemas oscilatórios com amortecimento. Vamos precisar entender conceitos como frequência natural, razão de amortecimento e como resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo na equação, temos:
Podemos dividir todos os termos por (que nunca é zero), ficando com a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . A solução é dada por:
A natureza das raízes depende do discriminante .

Passo 5

Para um sistema subamortecido, a razão de amortecimento é menor que 1, ou seja, . Nesse caso, o discriminante é negativo, indicando raízes complexas. Vamos expressar como:
Como , podemos reescrever a parte imaginária:
onde é a frequência natural.

Passo 6

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde é a frequência amortecida.

Passo 7

Podemos reescrever a solução usando uma única amplitude e fase:
Para encontrar e , aplicamos as condições iniciais e . Após algumas manipulações, chegamos às expressões:

Resposta

A solução para o sistema subamortecido é:
onde
e

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