Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação m ddotx+ c dotx+k x=0 é dada por:
x(t)=X e^-zeta omegan t cos raiz1-zeta^2 omegan t-phi
Onde:
X=raizx0 ^2+(dotx0+zeta omegan x0raiz1-zeta^2 omegan)^2 e phi=tan ^-1(dotx0+zeta omegan x0x0 omegan raiz1-zeta^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra mostrar que, num sistema subamortecido, a solução da equação diferencial é aquela expressão com e definidos. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem, especificamente para sistemas oscilatórios com amortecimento. Vamos precisar entender conceitos como frequência natural, razão de amortecimento e como resolver a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea:
m ddotx + c dotx + kx = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo m r^2 e^rt + c r e^rt + k e^rt = 0 na equação, temos:
m r^2 + c r + k = 0
Podemos dividir todos os termos por (que nunca é zero), ficando com a equação característica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática r = -c pm raizc^2 - 4mk2m para encontrar os valores de . A solução é dada por:
A natureza das raízes depende do discriminante .

Passo 5

Para um sistema subamortecido, a razão de amortecimento r = -zeta omegan pm omegan raizzeta^2 - 1 é menor que 1, ou seja, r = -zeta omegan pm i omegan raiz1 - zeta^2 . Nesse caso, o discriminante é negativo, indicando raízes complexas. Vamos expressar como:
Como , podemos reescrever a parte imaginária:
onde é a frequência natural.

Passo 6

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = e^-zeta omegan t ( C1 cos(omegad t) + C2 sin(omegad t) )
onde é a frequência amortecida.

Passo 7

Podemos reescrever a solução usando uma única amplitude e fase:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos(omegad t - phi)
Para encontrar X = raizx0^2 + (dotx0 + zeta omegan x0raiz1 - zeta^2 omegan)^2 e phi = tan^-1(dotx0 + zeta omegan x0x0 omegan raiz1 - zeta^2) , aplicamos as condições iniciais e . Após algumas manipulações, chegamos às expressões:

Resposta

A solução para o sistema subamortecido é:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos( raiz1 - zeta^2 , omegan t - phi )
onde
X = raizx0^2 + (dotx0 + zeta omegan x0raiz1 - zeta^2 omegan)^2
e
phi = tan^-1(dotx0 + zeta omegan x0x0 omegan raiz1 - zeta^2)

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