Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra mostrar que, num sistema subamortecido, a solução da equação diferencial é aquela expressão com e definidos. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem, especificamente para sistemas oscilatórios com amortecimento. Vamos precisar entender conceitos como frequência natural, razão de amortecimento e como resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea:
m ddotx + c dotx + kx = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo m r^2 e^rt + c r e^rt + k e^rt = 0 na equação, temos:
m r^2 + c r + k = 0
Podemos dividir todos os termos por (que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática r = -c pm raizc^2 - 4mk2m para encontrar os valores de . A solução é dada por:
A natureza das raízes depende do discriminante .
Passo 5
Para um sistema subamortecido, a razão de amortecimento r = -zeta omegan pm omegan raizzeta^2 - 1 é menor que 1, ou seja, r = -zeta omegan pm i omegan raiz1 - zeta^2 . Nesse caso, o discriminante é negativo, indicando raízes complexas. Vamos expressar como:
Como , podemos reescrever a parte imaginária:
onde é a frequência natural.
Passo 6
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos reescrever a solução usando uma única amplitude e fase:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos(omegad t - phi)
Para encontrar X = raizx0^2 + (dotx0 + zeta omegan x0raiz1 - zeta^2 omegan)^2 e phi = tan^-1(dotx0 + zeta omegan x0x0 omegan raiz1 - zeta^2) , aplicamos as condições iniciais e . Após algumas manipulações, chegamos às expressões:
Resposta
A solução para o sistema subamortecido é:
x(t) = X e^-zeta omegan t cos( raiz1 - zeta^2 , omegan t - phi )