Mostre que, para um sistema subamortecido, a solução da equação é dada por:
Onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra mostrar que, num sistema subamortecido, a solução da equação diferencial é aquela expressão com e definidos. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem, especificamente para sistemas oscilatórios com amortecimento. Vamos precisar entender conceitos como frequência natural, razão de amortecimento e como resolver a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo na equação, temos:
Podemos dividir todos os termos por (que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . A solução é dada por:
A natureza das raízes depende do discriminante .
Passo 5
Para um sistema subamortecido, a razão de amortecimento é menor que 1, ou seja, . Nesse caso, o discriminante é negativo, indicando raízes complexas. Vamos expressar como:
Como , podemos reescrever a parte imaginária:
onde é a frequência natural.
Passo 6
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
onde é a frequência amortecida.
Passo 7
Podemos reescrever a solução usando uma única amplitude e fase:
Para encontrar e , aplicamos as condições iniciais e . Após algumas manipulações, chegamos às expressões: