Em um sistema fechado, uma partícula de massa m1 e velocidade v1 colide elasticamente com um alvo de massa m2 inicialmete em repouso.
(f) Mostre que a fração de energia cinética perdida pela partícula 1, é:
T1 i-T1 fT1 i=4 muM
onde mu é a massa reduzida ( mu=m1 m2m1+m2 ) e M a massa total do sistema.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre colisões elásticas em um sistema fechado. Especificamente, uma partícula com massa T1i - T1fT1i = 4 muM e velocidade bate de forma elástica com outra partícula de massa que está parada. A gente precisa mostrar que a fração de energia cinética que a partícula 1 perde é dada por:
Onde é a massa reduzida ( ) e é a massa total do sistema ( ). Para resolver isso, vamos usar as leis de conservação de quantidade de movimento e de energia cinética que se aplicam em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão elástica, tanto a quantidade de movimento quanto a energia cinética total são conservadas. Ou seja:
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
E
12 m1 v1i^2 + 12 m2 v2i^2 = 12 m1 v1f^2 + 12 m2 v2f^2
Como está inicialmente em repouso, .

Passo 3

Vamos resolver as equações para encontrar as velocidades finais v1f = m1 - m2m1 + m2 v1i e v2f = 2 m1m1 + m2 v1i . Usando as fórmulas das colisões elásticas:
Essas fórmulas vêm da combinação das leis de conservação que mencionamos antes.

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial da partícula 1:
T1i = 12 m1 v1i^2
E a energia cinética final da partícula 1:
T1f = 12 m1 v1f^2 = 12 m1 ( m1 - m2m1 + m2 v1i )^2 = 12 m1 (m1 - m2)^2(m1 + m2)^2 v1i^2

Passo 5

A fração de energia cinética perdida pela partícula 1 é:
T1i - T1fT1i = 1 - T1fT1i
Substituindo 1 - 12 m1 (m1 - m2)^2(m1 + m2)^2 v1i^212 m1 v1i^2 = 1 - (m1 - m2)^2(m1 + m2)^2 e = (m1 + m2)^2 - (m1 - m2)^2(m1 + m2)^2 :
= 4 m1 m2(m1 + m2)^2

Passo 6

Reconhecendo que a massa reduzida mu = m1 m2m1 + m2 é:
M = m1 + m2
E a massa total 4 m1 m2(m1 + m2)^2 = 4 muM é:
Podemos reescrever a fração de energia perdida como:

Resposta

A fração de energia cinética perdida pela partícula 1 é:
T1i - T1fT1i = 4 muM

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