Mostre que a solução no espaço de Laplace, isto é,
é dada por:
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a solução no espaço de Laplace, que a gente chama de
, é dada por uma expressão específica. Isso envolve usar transformadas de Laplace para resolver uma equação diferencial. Então, o conteúdo da matéria aqui é Transformadas de Laplace aplicadas a equações diferenciais lineares. Vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente como elas funcionam com derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando funções do tempo
para o domínio de
. A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver.
Passo 3
Suponha que temos uma equação diferencial do tipo:
Aqui,
é a massa,
o coeficiente de amortecimento,
a constante da mola e
uma força externa. Vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa equação.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace, lembrando que:
Substituindo na equação original:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos reorganizar os termos para isolar
:
Assumindo que
(nenhuma força externa), simplificamos para:
Passo 6
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por
:
Aqui, definimos
e
, então a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos completar o quadrado no denominador:
Onde
.
Passo 8
Reescrevemos
com essa nova expressão:
Podemos dividir o numerador para facilitar:
Passo 9
Observando que:
Isso corresponde exatamente à expressão que queríamos demonstrar.
Resposta
Portanto, mostramos que a solução no espaço de Laplace é:
com
.
Exercícios relacionados
No circuito
após carregar o capacitor a corrente é nula, o que acontece com a corrente do circuito
?
Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
para
Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.