Mostre que a solução no espaço de Laplace, isto é, é dada por:
,
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a solução no espaço de Laplace, que a gente chama de , é dada por uma expressão específica. Isso envolve usar transformadas de Laplace para resolver uma equação diferencial. Então, o conteúdo da matéria aqui é Transformadas de Laplace aplicadas a equações diferenciais lineares. Vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de Laplace, especialmente como elas funcionam com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando funções do tempo para o domínio de . A ideia é transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Suponha que temos uma equação diferencial do tipo:
Aqui, é a massa, o coeficiente de amortecimento, a constante da mola e uma força externa. Vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa equação.

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace, lembrando que:
Substituindo na equação original:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos reorganizar os termos para isolar :
Assumindo que (nenhuma força externa), simplificamos para:

Passo 6

Para simplificar, vamos dividir todos os termos por :
Aqui, definimos e , então a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos completar o quadrado no denominador:
Onde .

Passo 8

Reescrevemos com essa nova expressão:
Podemos dividir o numerador para facilitar:

Passo 9

Observando que:
Isso corresponde exatamente à expressão que queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, mostramos que a solução no espaço de Laplace é:
com .

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