Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico conforme cresce) ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além do critério do limite para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Sabemos que o cosseno de múltiplos de resulta em valores que alternam entre 1 e -1. Isso acontece porque:
  • E assim por diante…
Então, vai ser alternadamente 1 e -1 conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos calcular alguns termos da sequência para visualizar melhor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Vemos que a sequência alterna entre 2 e 0.

Passo 4

Para determinar o comportamento da sequência, usamos o Critério do Limite: se o limite de existe e é finito, a sequência converge para esse valor; caso contrário, ela diverge.
Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como vimos, alterna entre 1 e -1 constantemente, então:
ã

Resposta

A sequência diverge, pois o limite não existe, já que os termos alternam entre 2 e 0 infinitamente. Usamos o Critério do Limite para concluir isso.

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,
.
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