Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico conforme
cresce) ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além do critério do limite para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Sabemos que o cosseno de múltiplos de
resulta em valores que alternam entre 1 e -1. Isso acontece porque:
-
-
-
- E assim por diante…
Então,
vai ser alternadamente 1 e -1 conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos calcular alguns termos da sequência para visualizar melhor:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Vemos que a sequência alterna entre 2 e 0.
Passo 4
Para determinar o comportamento da sequência, usamos o Critério do Limite: se o limite de
existe e é finito, a sequência converge para esse valor; caso contrário, ela diverge.
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como vimos,
alterna entre 1 e -1 constantemente, então:
Resposta
A sequência
diverge, pois o limite não existe, já que os termos alternam entre 2 e 0 infinitamente. Usamos o Critério do Limite para concluir isso.
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é dada por:
,
.
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?
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