Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo de sequências numéricas e seus limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência conforme cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, para determinar se a sequência converge ou diverge, vamos tentar calcular o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite existir e for finito, a sequência converge; caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Vamos calcular . Para isso, precisamos entender o comportamento de quando cresce.

Passo 4

Observando , vemos que, conforme fica maior e maior, se aproxima de zero. Então, estamos analisando o seno de um número que vai para zero.

Passo 5

Aqui entra uma propriedade importante do seno: quando o ângulo é próximo de zero, é aproximadamente igual a . Isso significa que para valores grandes de .

Passo 6

Agora, calculando o limite:
Portanto, o limite de é zero.

Resposta

A sequência converge para 0, utilizando o critério do limite.

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,
.
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