Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo de sequências numéricas e seus limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência conforme
cresce indefinidamente.
Passo 2
Primeiro, para determinar se a sequência converge ou diverge, vamos tentar calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Se esse limite existir e for finito, a sequência converge; caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Vamos calcular
. Para isso, precisamos entender o comportamento de
quando
cresce.
Passo 4
Observando
, vemos que, conforme
fica maior e maior,
se aproxima de zero. Então, estamos analisando o seno de um número que vai para zero.
Passo 5
Aqui entra uma propriedade importante do seno: quando o ângulo é próximo de zero,
é aproximadamente igual a
. Isso significa que
para valores grandes de
.
Passo 6
Agora, calculando o limite:
Portanto, o limite de
é zero.
Resposta
A sequência
converge para 0, utilizando o critério do limite.
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é dada por:
,
.
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