Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências a_n abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência. a_n = (1 + a / n)^n para a in R

Passo 1

Beleza! A gente precisa determinar se a sequência converge ou diverge, onde é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como essa expressão se comporta quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade super importante: sabemos que . Isso quer dizer que, conforme cresce, a expressão se aproxima de , onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.

Passo 3

No nosso caso, a sequência é . Comparando com a propriedade que vimos, podemos identificar que . Então, aplicando o limite, temos:

Passo 4

Isso significa que, independentemente do valor de (desde que seja um número real), a sequência vai convergir para . O critério que usamos aqui foi a propriedade do limite de sequências que se aproximam da forma .

Resposta

A sequência converge para para todo . Utilizamos a propriedade do limite para determinar a convergência e calcular o limite.

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