Mostre que a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é mínima, isto é S1=sumi=1^n(Xi-X)^2 <= sumi=1^n(Xi-a)^2 onde

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o negócio que a gente tá tentando resolver aqui. A questão quer mostrar que, se a gente calcular a soma dos quadrados das diferenças de cada valor da nossa amostra em relação à média, essa soma vai ser menor do que se a gente calcular a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação a qualquer outro número qualquer, que a gente chama de “a”. A matéria que a gente vai usar aqui é Estatística, mais especificamente o conceito de média e variância. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas para otimizar essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que a média é. A média, representada por X = 1n sumi=1^n Xi , é a soma de todos os valores da amostra dividida pelo número de valores. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos definir a soma dos quadrados dos desvios em relação à média, que é o que queremos minimizar. Essa soma é dada por:
S1 = sumi=1^n (Xi - X)^2
E queremos mostrar que isso é menor ou igual a qualquer outra soma de quadrados, como:
S = sumi=1^n (Xi - a)^2
onde é qualquer número real.

Passo 4

Para mostrar que S = sumi=1^n (Xi - a)^2 = sumi=1^n [ (Xi - X) + (X - a) ]^2 , vamos desenvolver a expressão de e comparar com . Vamos expandir :

Passo 5

Ao expandir o quadrado, temos:
S = sumi=1^n [ (Xi - X)^2 + 2(Xi - X)(X - a) + (X - a)^2 ]
Isso separa a expressão em três partes.

Passo 6

Vamos somar cada termo separadamente:

Passo 7

Observamos que 2(X - a) times 0 = 0 , porque a média é o valor que balanceia a soma das diferenças. Então, o segundo termo desaparece:

Passo 8

Assim, a expressão de S = S1 + n (X - a)^2 fica:
S >= S1
Como é sempre maior ou igual a zero (porque é um quadrado vezes um número positivo ), então:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é mínima.

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