Mostre que a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é mínima, isto é onde
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o negócio que a gente tá tentando resolver aqui. A questão quer mostrar que, se a gente calcular a soma dos quadrados das diferenças de cada valor da nossa amostra em relação à média, essa soma vai ser menor do que se a gente calcular a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação a qualquer outro número qualquer, que a gente chama de “a”. A matéria que a gente vai usar aqui é Estatística, mais especificamente o conceito de média e variância. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas para otimizar essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que a média é. A média, representada por X = 1n sumi=1^n Xi , é a soma de todos os valores da amostra dividida pelo número de valores. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos definir a soma dos quadrados dos desvios em relação à média, que é o que queremos minimizar. Essa soma é dada por:
S1 = sumi=1^n (Xi - X)^2
E queremos mostrar que isso é menor ou igual a qualquer outra soma de quadrados, como:
S = sumi=1^n (Xi - a)^2
onde é qualquer número real.
Passo 4
Para mostrar que S = sumi=1^n (Xi - a)^2 = sumi=1^n [ (Xi - X) + (X - a) ]^2 , vamos desenvolver a expressão de e comparar com . Vamos expandir :
Passo 5
Ao expandir o quadrado, temos:
S = sumi=1^n [ (Xi - X)^2 + 2(Xi - X)(X - a) + (X - a)^2 ]
Isso separa a expressão em três partes.
Passo 6
Vamos somar cada termo separadamente:
Passo 7
Observamos que 2(X - a) times 0 = 0 , porque a média é o valor que balanceia a soma das diferenças. Então, o segundo termo desaparece:
Passo 8
Assim, a expressão de S = S1 + n (X - a)^2 fica:
S >= S1
Como é sempre maior ou igual a zero (porque é um quadrado vezes um número positivo ), então:
Resposta
Portanto, mostramos que , ou seja, a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é mínima.