Mostre que a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é mínima, isto é onde

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o negócio que a gente tá tentando resolver aqui. A questão quer mostrar que, se a gente calcular a soma dos quadrados das diferenças de cada valor da nossa amostra em relação à média, essa soma vai ser menor do que se a gente calcular a soma dos quadrados das diferenças de cada valor em relação a qualquer outro número qualquer, que a gente chama de “a”. A matéria que a gente vai usar aqui é Estatística, mais especificamente o conceito de média e variância. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas para otimizar essa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que a média é. A média, representada por , é a soma de todos os valores da amostra dividida pelo número de valores. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos definir a soma dos quadrados dos desvios em relação à média, que é o que queremos minimizar. Essa soma é dada por:
E queremos mostrar que isso é menor ou igual a qualquer outra soma de quadrados, como:
onde é qualquer número real.

Passo 4

Para mostrar que , vamos desenvolver a expressão de e comparar com . Vamos expandir :

Passo 5

Ao expandir o quadrado, temos:
Isso separa a expressão em três partes.

Passo 6

Vamos somar cada termo separadamente:

Passo 7

Observamos que , porque a média é o valor que balanceia a soma das diferenças. Então, o segundo termo desaparece:

Passo 8

Assim, a expressão de fica:
Como é sempre maior ou igual a zero (porque é um quadrado vezes um número positivo ), então:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é mínima.

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Num supermercado há 2000 lâmpadas, provenientes de 3 fábricas distintas, X, Y e Z. A fábrica X produziu 500, das quais 400 são boas. A fábrica Y produziu 700, das quais 600 são boas, e as restantes, das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas nesse supermercado, qual a proabilidade de que:
(a) seja boa?
Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de que:
(a) no máximo duas sejam boas?
A fábrica A produziu 4000 lâmpadas e a fábrica B, 6000 lâmpadas. 80% das lâmpadas de A são boas, e 60% das de B são boas também. Escolhe-se uma lâmpada ao acaso das 10000 lâmpadas. QUal a probabilidade que:
(b) seja boa?