Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de que:
(a) no máximo duas sejam boas?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma máquina que produz peças, sendo que 10% são defeituosas. Hoje, retiramos 5 peças dessa produção. Queremos saber qual a probabilidade de que no máximo duas dessas peças sejam boas.
Para resolver isso, vamos utilizar o Distribuição Binomial, que é ideal para calcular a probabilidade de obter um número específico de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem duas possibilidades (sucesso ou falha) e a probabilidade de sucesso é constante.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • n (número de tentativas) = 5 peças
  • p (probabilidade de sucesso, ou seja, uma peça ser boa) = 90% = 0.9
  • q (probabilidade de falha, ou seja, uma peça ser defeituosa) = 10% = 0.1

Passo 3

A probabilidade de que no máximo duas peças sejam boas significa que queremos calcular a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 peças boas dentre as 5 retiradas.
Matematicamente, isso é representado por:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
P(X=k) = binomnk times p^k times q^n-k
onde é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de k sucessos em n tentativas.

Passo 5

Calculando P(X=0) = binom50 times 0.9^0 times 0.1^5 = 1 times 1 times 0.00001 = 0.00001 :

Passo 6

Calculando P(X=1) = binom51 times 0.9^1 times 0.1^4 = 5 times 0.9 times 0.0001 = 0.00045 :

Passo 7

Calculando P(X=2) = binom52 times 0.9^2 times 0.1^3 = 10 times 0.81 times 0.001 = 0.0081 :

Passo 8

Agora, somamos as probabilidades para obter a probabilidade de no máximo duas peças serem boas:
P(X <= 2) = 0.00001 + 0.00045 + 0.0081 = 0.00856

Resposta

A probabilidade de que no máximo duas das cinco peças sejam boas é de 0,856%.

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