Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de que:
(a) no máximo duas sejam boas?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma máquina que produz peças, sendo que 10% são defeituosas. Hoje, retiramos 5 peças dessa produção. Queremos saber qual a probabilidade de que no máximo duas dessas peças sejam boas.
Para resolver isso, vamos utilizar o Distribuição Binomial, que é ideal para calcular a probabilidade de obter um número específico de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem duas possibilidades (sucesso ou falha) e a probabilidade de sucesso é constante.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • n (número de tentativas) = 5 peças
  • p (probabilidade de sucesso, ou seja, uma peça ser boa) = 90% = 0.9
  • q (probabilidade de falha, ou seja, uma peça ser defeituosa) = 10% = 0.1

Passo 3

A probabilidade de que no máximo duas peças sejam boas significa que queremos calcular a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 peças boas dentre as 5 retiradas.
Matematicamente, isso é representado por:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
onde é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis de k sucessos em n tentativas.

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Agora, somamos as probabilidades para obter a probabilidade de no máximo duas peças serem boas:

Resposta

A probabilidade de que no máximo duas das cinco peças sejam boas é de 0,856%.

Exercícios relacionados

Três cartas vão ser retiradas de um baralho de 52 cartas. Calcular a probabilidade de que:
(b) as três cartas sejam do mesmo naipe;
A fábrica A produziu 4000 lâmpadas e a fábrica B, 6000 lâmpadas. 80% das lâmpadas de A são boas, e 60% das de B são boas também. Escolhe-se uma lâmpada ao acaso das 10000 lâmpadas. QUal a probabilidade que:
(d) sendo defeituosa, tenha sido fabricada por ?
Num supermercado há 2000 lâmpadas, provenientes de 3 fábricas distintas, X, Y e Z. A fábrica X produziu 500, das quais 400 são boas. A fábrica Y produziu 700, das quais 600 são boas, e as restantes, das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas nesse supermercado, qual a proabilidade de que:
(a) seja boa?
Mostre que a soma dos quadrados dos desvios em relação à média é mínima, isto é onde