Mostre por substituição que a EDO:
é redutível a separável e encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
pode ser transformada em uma equação separável usando uma substituição. Depois disso, precisamos encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre substituições em EDOs e como tornar uma equação separável.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão
. Note que o numerador e o denominador têm termos semelhantes, o que sugere que podemos simplificar a expressão fazendo uma substituição adequada.
Vamos definir uma nova variável
que seja uma combinação de
e
. Observando os termos, uma boa escolha seria:
Essa substituição simplifica tanto o numerador quanto o denominador.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. Vamos derivar
em relação a
:
Nossa equação original é:
Substituindo
na derivada de
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para
:
Para somar essas frações, colocamos sobre um denominador comum:
Então, temos:
Passo 5
Agora, queremos separar as variáveis para tornar a equação separável. Vamos reorganizar a equação:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação separável, onde podemos integrar ambos os lados.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Deixe
, então
ou
.
Reescrevendo a integral:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 7
A integral do lado direito é simplesmente:
Então, igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 25 para simplificar:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Isolando
:
Podemos simplificar a constante
para apenas
:
Essa é a forma implícita da solução geral da EDO.
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva a equação:
.
Calcule
, onde C consiste no segmento de reta
que une
a
seguido pelo segmento de reta
de
a
.
Resolva o problema de valor inicial
Sabendo que
é solução da equação
, encontre a solução geral.