Mostre por substituição que a EDO: é redutível a separável e encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a Equação Diferencial Ordinária (EDO) pode ser transformada em uma equação separável usando uma substituição. Depois disso, precisamos encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre substituições em EDOs e como tornar uma equação separável.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão . Note que o numerador e o denominador têm termos semelhantes, o que sugere que podemos simplificar a expressão fazendo uma substituição adequada.
Vamos definir uma nova variável que seja uma combinação de e . Observando os termos, uma boa escolha seria:
Essa substituição simplifica tanto o numerador quanto o denominador.

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de e . Vamos derivar em relação a :
Nossa equação original é:
Substituindo na derivada de :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para :
Para somar essas frações, colocamos sobre um denominador comum:
Então, temos:

Passo 5

Agora, queremos separar as variáveis para tornar a equação separável. Vamos reorganizar a equação:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação separável, onde podemos integrar ambos os lados.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Deixe , então ou .
Reescrevendo a integral:
Mas sabemos que , então substituindo:
Integrando:
Voltando para :

Passo 7

A integral do lado direito é simplesmente:
Então, igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 25 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando:
Isolando :
Podemos simplificar a constante para apenas :
Essa é a forma implícita da solução geral da EDO.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por:
onde é a constante de integração.

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