Calcule , onde C consiste no segmento de reta que une a seguido pelo segmento de reta de a .

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral de linha , onde a curva é composta por dois segmentos de reta: que vai de a e que vai de a . Vamos usar cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de a . Podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para simplificar:
onde .

Passo 3

Agora, encontramos as derivadas em relação a :

Passo 4

Expressamos a integral sobre em termos de :
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos:

Passo 6

Agora, vamos parametrizar o segmento de a . Como e permanecem constantes, só muda:
onde .

Passo 7

Calculamos as derivadas em relação a :

Passo 8

Expressamos a integral sobre :
Simplificando:

Resposta

Somando as integrais de e :
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule , onde é a hélice circular dada pelas equações .
Calcule , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide .
Resolva a equação: .
Mostre por substituição que a EDO: é redutível a separável e encontre sua solução geral.