Calcule integralC y d x+z d z+x d z, onde C consiste no segmento de reta C1 que une (2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento de reta C2 de (3,4,5) a (3,4,0).

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral de linha , onde a curva é composta por dois segmentos de reta: que vai de a e que vai de a . Vamos usar cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar cada segmento e calcular a integral em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento x(t) = 2 + t(3-2) = 2 + t y(t) = 0 + t(4-0) = 4t z(t) = 0 + t(5-0) = 5t de a . Podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para simplificar:
onde .

Passo 3

Agora, encontramos as derivadas em relação a dxdt = 1, dydt = 4, dzdt = 5 :

Passo 4

Expressamos a integral sobre integralC1 y , dx + z , dz + x , dz = integral0^1 [y(t) cdot dxdt + z(t) cdot dzdt + x(t) cdot dzdt] , dt em termos de = integral0^1 [4t cdot 1 + 5t cdot 5 + (2 + t) cdot 5] , dt :
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
4t + 25t + 10 + 5t = (4t + 25t + 5t) + 10 = 34t + 10
Agora, integramos:
integral0^1 (34t + 10) , dt = [17t^2 + 10t]0^1 = 17(1)^2 + 10(1) - 0 = 17 + 10 = 27

Passo 6

Agora, vamos parametrizar o segmento x(t) = 3 y(t) = 4 z(t) = 5 - 5t de a . Como e permanecem constantes, só muda:
onde .

Passo 7

Calculamos as derivadas em relação a dxdt = 0, dydt = 0, dzdt = -5 :

Passo 8

Expressamos a integral sobre integralC2 y , dx + z , dz + x , dz = integral0^1 [4 cdot 0 + (5 - 5t) cdot (-5) + 3 cdot (-5)] , dt :
= integral0^1 [0 - 25 + (-15)] , dt = integral0^1 (-40) , dt = -40t |0^1 = -40
Simplificando:

Resposta

Somando as integrais de 27 + (-40) = -13 e :
Então, o valor da integral é .

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