Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a seguinte equação:
com a condição inicial .
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente a Equação de Bernoulli, para resolver isso. Vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor os termos:
Essa forma nos mostra que a equação é do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
Aqui, , e .

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Vamos substituir isso na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação, temos:
Multiplicando tudo por para simplificar:
Agora, a equação está na forma linear:
onde e .

Passo 5

Para resolver a equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada total:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Lembrando que , então:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :
Para que isso seja válido, o denominador deve tender ao infinito, o que acontece se :

Passo 9

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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