Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos dá a seguinte equação:
com a condição inicial
.
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente a Equação de Bernoulli, para resolver isso. Vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a equação e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor os termos:
Essa forma nos mostra que a equação é do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em linear. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Vamos substituir isso na equação original.
Passo 4
Substituindo
na equação, temos:
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Agora, a equação está na forma linear:
onde
e
.
Passo 5
Para resolver a equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso nos permite reescrever a equação como uma derivada total:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Para que isso seja válido, o denominador deve tender ao infinito, o que acontece se
:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Mostre por substituição que a EDO:
é redutível a separável e encontre sua solução geral.
Resolva a equação:
.
Sabendo que
é solução da equação
, encontre a solução geral.
Resolva a EDO:
com
sendo uma solução.