Resolva a equação:
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. Assim:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir uma nova variável:
Isso ajuda a simplificar a equação porque
combina
e
de forma que podemos derivar facilmente.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Isso porque a derivada de
é
, a derivada de
em relação a
é
e a constante
tem derivada
.
Passo 5
Substituímos
da equação original na derivada de
:
Agora, nossa equação está em termos de
e
, o que é mais fácil de resolver.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Simplificando o denominador:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
Para resolver a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição. Deixe
, então
ou
.
Substituindo:
Voltando para
:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta para termos em
e
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Onde
.
Passo 9
Finalmente, isolamos
:
Para simplificar, podemos escrever:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante qualquer.