Resolva a equação: (2 x + y + 1) dy/dx = 1.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. Assim:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir uma nova variável:
Isso ajuda a simplificar a equação porque u combina x e y de forma que podemos derivar facilmente.

Passo 4

Vamos derivar u em relação a x:
Isso porque a derivada de é , a derivada de y em relação a x é e a constante 1 tem derivada 0.

Passo 5

Substituímos da equação original na derivada de u:
Agora, nossa equação está em termos de u e x, o que é mais fácil de resolver.

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis u e x:
Simplificando o denominador:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:
Para resolver a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição. Deixe , então ou .
Substituindo:
Voltando para u:

Passo 8

Agora, substituímos u de volta para termos em x e y:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Onde .

Passo 9

Finalmente, isolamos y:
Para simplificar, podemos escrever:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde C é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados