Resolva a equação não homogênea d^2y/dv^2 - 4dy/dv + 4y = e^v via o método de coeficientes indeterminados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea . Esse tipo de equação faz parte do estudo das Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar a solução. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida igualando o lado direito a zero:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 5

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Como o lado direito é , vamos supor uma solução na forma:
onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 7

Calculando as derivadas de :

Passo 8

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Portanto, .

Passo 9

Assim, a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução da homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Mostre que a substituição v = ln(x) na e.d.o x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = x transforma a equação em d^2y/dv^2 - 4dy/dv + 4y = e^v.
Mostre que os gráficos das funções f(x) = e^x e g(x) = x + 2 se intersectam para algum x >= 0.
Dado que o fator integrante mu(x) da equação
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
é uma função apenas de x, mostre que
mu(y)=exp integral My-NxN d x
Mostre que
(x+y) dx + (x ln x) dy = 0
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.