Mostre que a substituição
transforma a equação
numa equaçăo de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equaçôes:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O objetivo é mostrar que, ao fazermos a substituição
, a equação se torna de variáveis separáveis. Depois, vamos aplicar esse método para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação de variáveis separáveis. É uma equação que pode ser escrita na forma:
onde as variáveis
e
estão separadas, facilitando a resolução da equação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a substituição
. Para isso, precisamos determinar os valores de
,
e
de forma que a equação original se torne separável.
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Podemos reescrever a equação como:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, usaremos a substituição
. Isso simplifica a equação, já que
,
e
. Calculando
:
Passo 6
Rearranjando a expressão para
:
Substituindo
na equação dividida:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Distribuindo o -3:
Passo 8
Rearranjando os termos para isolar
:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 9
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 10
Agora, isolando
:
Essa equação está na forma de variáveis separáveis, onde
está em termos de
e
.
Passo 11
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral:
A integral do lado esquerdo é simples:
Passo 12
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja
, então
e
. Substituindo:
Voltando para
:
Passo 13
Agora, substituindo
:
Simplificando para isolar
:
Rearranjando:
Dividindo tudo por 6:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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.
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(b) .
(b)
Encontre os limites
.