Mostre que a substituição z = a*x + b*y + c transforma a equação y' = f(a x + b y + c) numa equaçăo de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equaçôes:
(x + 2y - 1) dx + 3(x + 2y) dy = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O objetivo é mostrar que, ao fazermos a substituição , a equação se torna de variáveis separáveis. Depois, vamos aplicar esse método para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação de variáveis separáveis. É uma equação que pode ser escrita na forma:
onde as variáveis e estão separadas, facilitando a resolução da equação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a substituição . Para isso, precisamos determinar os valores de , e de forma que a equação original se torne separável.
Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Substituindo na equação original:
Podemos reescrever a equação como:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, usaremos a substituição . Isso simplifica a equação, já que , e . Calculando :

Passo 6

Rearranjando a expressão para :
Substituindo na equação dividida:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Distribuindo o -3:

Passo 8

Rearranjando os termos para isolar :
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 9

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 10

Agora, isolando :
Essa equação está na forma de variáveis separáveis, onde está em termos de e .

Passo 11

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral:
A integral do lado esquerdo é simples:

Passo 12

Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja , então e . Substituindo:
Voltando para :

Passo 13

Agora, substituindo :
Simplificando para isolar :
Rearranjando:
Dividindo tudo por 6:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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