Mostre que
ou
ou
ou zero, conforme o resto da divisão de
por 4 seja zero,1,2 ou 3 , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a soma de
do
até
. Aqui,
é a unidade imaginária, que tem propriedades especiais na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da soma de uma série geométrica e entender como as potências de
se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica finita. Se a gente tem uma série assim:
a soma
é dada por:
No nosso caso, a razão
é
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, precisamos entender como
se comporta dependendo do valor de
. Sabemos que as potências de
seguem um ciclo de 4:
Então,
vai depender do resto da divisão de
por 4. Mas como o enunciado quer o resultado baseado no resto de
por 4, vamos ajustar isso.
Passo 4
Vamos analisar os casos com base no resto da divisão de
por 4:
-
Se
: - Então,
, logo, . - Substituindo na soma:
- Então,
-
Se
: - Então,
, logo, . - Substituindo na soma:
- Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
- Então,
-
Se
: - Então,
, logo, . - Substituindo na soma:
- Multiplicando numerador e denominador por
:
- Então,
-
Se
: - Então,
, logo, . - Substituindo na soma:
- Então,
Resposta
A soma
é igual a:
-
se dividido por 4 dá resto 0, -
se o resto for 1, -
se o resto for 2, - e
se o resto for 3.