Mostre que sumn=0^N i^n=1 ou 1+i ou i ou zero, conforme o resto da divisão de N por 4 seja zero,1,2 ou 3 , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a soma de do até . Aqui, é a unidade imaginária, que tem propriedades especiais na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da soma de uma série geométrica e entender como as potências de se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica finita. Se a gente tem uma série assim:
S = sumn=0^N r^n
a soma S = 1 - r^N+11 - r é dada por:
S = 1 - i^N+11 - i
No nosso caso, a razão é . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 3

Agora, precisamos entender como i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, e assim por diante se comporta dependendo do valor de . Sabemos que as potências de seguem um ciclo de 4:
Então, vai depender do resto da divisão de por 4. Mas como o enunciado quer o resultado baseado no resto de por 4, vamos ajustar isso.

Passo 4

Vamos analisar os casos com base no resto da divisão de S = 1 - i1 - i = 1 por 4:
  1. Se S = 1 - (-1)1 - i = 21 - i :
    • Então, S = 2(1 + i)(1 - i)(1 + i) = 2(1 + i)1 + i - i - i^2 = 2(1 + i)1 + 1 = 1 + i , logo, S = 1 - (-i)1 - i = 1 + i1 - i .
    • Substituindo na soma: S = (1 + i)(1 + i)(1 - i)(1 + i) = 1 + 2i + i^21 + i - i - i^2 = 1 + 2i -11 +1 = 2i2 = i
  2. Se S = 1 - 11 - i = 01 - i = 0 :
    • Então, , logo, .
    • Substituindo na soma:
    • Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :
  3. Se :
    • Então, , logo, .
    • Substituindo na soma:
    • Multiplicando numerador e denominador por :
  4. Se :
    • Então, , logo, .
    • Substituindo na soma:

Resposta

A soma é igual a:
  • se dividido por 4 dá resto 0,
  • se o resto for 1,
  • se o resto for 2,
  • e se o resto for 3.

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