Seja F: R^2 R^2, onde F(x, y)=(3+2 x y) i+(x^2-3 y^2) j.
(1,0) Calcule integralC F cdot d r, sendo C a curva y=x^2, de (1,1) a (2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy)i + (x^2 - 3y^2)j e precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dr onde a curva C é dada por y = x^2, indo do ponto (1,1) até (2,4). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como y = x^2, podemos usar x como nosso parâmetro. Assim, a parametrização fica:
r(x) = xi + x^2j, onde x varia de 1 a 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de posição dr. Para isso, derivamos r(x) em relação a x:
drdx = i + 2xj implies dr = (i + 2xj)dx

Passo 4

Substituímos a parametrização na função F:
F(x, y) = F(x, x^2) = (3 + 2x cdot x^2)i + (x^2 - 3(x^2)^2)j = (3 + 2x^3)i + (x^2 - 3x^4)j

Passo 5

Calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (3 + 2x^3)(1) + (x^2 - 3x^4)(2x) = 3 + 2x^3 + 2x^3 - 6x^5 = 3 + 4x^3 - 6x^5

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de x = 1 a x = 2:
integral1^2 (3 + 4x^3 - 6x^5) dx = [3x + x^4 - x^6]1^2 = [3(2) + 2^4 - 2^6] - [3(1) + 1^4 - 1^6] = (6 + 16 - 64) - (3 + 1 - 1) = (-42) - 3 = -45

Resposta

A integral de linha é igual a -45.

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