Prove por indução que: Para qualquer natural n >= 1, vale 2^n>n

Passo 1

Beleza, vamos provar que para todo número natural , a expressão é verdadeira. Para isso, vamos usar o método de indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar que uma afirmação é válida para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, para 2^1 = 2 e 2 > 1 .
Calculando:
Então, a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural 2^k > k , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Com base nessa hipótese, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para 2^k + 1 > k + 1 , ou seja, que:

Passo 5

Vamos trabalhar com 2^k + 1 = 2 times 2^k :
2^k + 1 = 2 times 2^k > 2 times k
Pela hipótese de indução, sabemos que 2^k + 1 > 2k , então:
Então, temos:

Passo 6

Agora, precisamos mostrar que 2k >= k + 1 Rightarrow 2k - k >= 1 Rightarrow k >= 1 para :
Isso é verdade para todo .

Passo 7

Juntando as duas desigualdades:
2^k + 1 > 2k >= k + 1
Portanto:
2^k + 1 > k + 1
Isso mostra que, se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, demonstramos que para todo número natural , é verdadeiro.

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