Prove por indução que: Para qualquer natural
, vale
Passo 1
Beleza, vamos provar que para todo número natural
, a expressão
é verdadeira. Para isso, vamos usar o método de indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar que uma afirmação é válida para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, para
.
Calculando:
Então, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos fazer a hipótese de indução. Vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Com base nessa hipótese, precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
, ou seja, que:
Passo 5
Vamos trabalhar com
:
Pela hipótese de indução, sabemos que
, então:
Então, temos:
Passo 6
Agora, precisamos mostrar que
para
:
Isso é verdade para todo
.
Passo 7
Juntando as duas desigualdades:
Portanto:
Isso mostra que, se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, demonstramos que para todo número natural
,
é verdadeiro.
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é divisível por 9 .
Mostre que para todo
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