Mostre que u(x, t)=sen(alpha x) cdot e^-beta t satisfaz a equação do calor unidimensional partial fpartial t=partial^2 fpartial x^2 para constantes alpha e beta. Qual é a relação entre alpha e beta para essa função ser uma solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é mostrar que a função satisfaz a equação do calor unidimensional, que é . Isso está dentro da matéria de equações diferenciais parciais, especificamente sobre a equação do calor. Para resolver, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois igualar essas derivadas conforme a equação do calor. No final, vamos descobrir como os parâmetros e estão relacionados para que seja realmente uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial upartial t = sin(alpha x) cdot ddt ( e^-beta t ) = sin(alpha x) cdot (-beta) e^-beta t = -beta sin(alpha x) e^-beta t em relação a , ou seja, . Lembrando que é uma função de e é uma função de , então, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial upartial x = ddx ( sin(alpha x) cdot e^-beta t ) = alpha cos(alpha x) cdot e^-beta t em relação a partial^2 upartial x^2 = ddx ( alpha cos(alpha x) cdot e^-beta t ) = -alpha^2 sin(alpha x) cdot e^-beta t , ou seja, . Primeiro, encontramos a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

A equação do calor exige que -beta sin(alpha x) e^-beta t = -alpha^2 sin(alpha x) e^-beta t . Vamos igualar as duas expressões que encontramos:
beta = alpha^2
Podemos simplificar ambos os lados cancelando (desde que não sejam zero, o que é válido para funções trigonométricas e exponenciais):

Resposta

A relação entre e para que seja uma solução da equação do calor é .

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