Mostre que
satisfaz a equação do calor unidimensional
para constantes
e
. Qual é a relação entre
e
para essa função ser uma solução?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é mostrar que a função
satisfaz a equação do calor unidimensional, que é
. Isso está dentro da matéria de equações diferenciais parciais, especificamente sobre a equação do calor. Para resolver, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois igualar essas derivadas conforme a equação do calor. No final, vamos descobrir como os parâmetros
e
estão relacionados para que
seja realmente uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Lembrando que
é uma função de
e
é uma função de
, então, ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Primeiro, encontramos a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
A equação do calor exige que
. Vamos igualar as duas expressões que encontramos:
Podemos simplificar ambos os lados cancelando
(desde que não sejam zero, o que é válido para funções trigonométricas e exponenciais):
Resposta
A relação entre
e
para que
seja uma solução da equação do calor é
.