Seja f(x, y) = { 0, se x^2 < y < 2 x^2; 1, caso contrário }á Mostre que fx(0,0) e f_y(0,0) existem, mas f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis, , definida de duas maneiras diferentes dependendo dos valores de e . Nosso objetivo aqui é mostrar que as derivadas parciais de em relação a e no ponto existem, mas que a função não é diferenciável nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
á
Isso significa que vale 0 quando está entre e , e 1 em qualquer outro caso. Nosso ponto de interesse é .

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais e , vamos usar a definição de derivada parcial. Por exemplo, a derivada parcial em relação a no ponto é:
E similarmente para :
Vamos calcular cada uma dessas.

Passo 4

Calculando :
Quando , a condição se torna . Para próximo de 0, isso nunca ocorre porque é sempre não negativo, então . Sabemos que também precisa ser analisado:
Para e , a condição não é verdadeira, então .
Então,

Passo 5

Agora, calculando :
Quando , a condição se torna , o que nunca é verdadeiro. Portanto, para qualquer próximo de 0. Assim,

Passo 6

Então, concluímos que ambas as derivadas parciais e existem e são iguais a 0.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a função é diferenciável em . Uma função ser diferenciável nesse ponto significa que podemos aproximar por uma função linear perto de . Formalmente, é diferenciável em se:
Como já sabemos que e , a condição simplifica para:

Passo 8

Vamos analisar esse limite. Se escolhermos , que está entre e , então . Então, substituindo:
Quando , essa expressão tende a , que vai para . Isso não é zero, então o limite não existe.

Passo 9

Como o limite não se anula, isso significa que a função não é diferenciável em , mesmo tendo derivadas parciais que existem nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais e existem e são iguais a 0, mas a função não é diferenciável em .

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