Seja
Mostre que
e
existem, mas
não é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis,
, definida de duas maneiras diferentes dependendo dos valores de
e
. Nosso objetivo aqui é mostrar que as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
existem, mas que a função
não é diferenciável nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o que significa uma função ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
Isso significa que
vale 0 quando
está entre
e
, e 1 em qualquer outro caso. Nosso ponto de interesse é
.
Passo 3
Para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos usar a definição de derivada parcial. Por exemplo, a derivada parcial em relação a
no ponto
é:
E similarmente para
:
Vamos calcular cada uma dessas.
Passo 4
Calculando
:
Quando
, a condição
se torna
. Para
próximo de 0, isso nunca ocorre porque
é sempre não negativo, então
. Sabemos que
também precisa ser analisado:
Para
e
, a condição
não é verdadeira, então
.
Então,
Passo 5
Agora, calculando
:
Quando
, a condição
se torna
, o que nunca é verdadeiro. Portanto,
para qualquer
próximo de 0. Assim,
Passo 6
Então, concluímos que ambas as derivadas parciais
e
existem e são iguais a 0.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a função
é diferenciável em
. Uma função ser diferenciável nesse ponto significa que podemos aproximar
por uma função linear perto de
. Formalmente,
é diferenciável em
se:
Como já sabemos que
e
, a condição simplifica para:
Passo 8
Vamos analisar esse limite. Se escolhermos
, que está entre
e
, então
. Então, substituindo:
Quando
, essa expressão tende a
, que vai para
. Isso não é zero, então o limite não existe.
Passo 9
Como o limite não se anula, isso significa que a função
não é diferenciável em
, mesmo tendo derivadas parciais que existem nesse ponto.
Resposta
As derivadas parciais
e
existem e são iguais a 0, mas a função
não é diferenciável em
.