Mostre que f(x, y) = e^(2y) cos(2x) satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a função satisfaz a equação de Laplace. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais parciais, especificamente a equação de Laplace, que é importante em áreas como física e engenharia para modelar fenômenos como campos elétricos e gravitacionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Lembre-se que a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Isso significa derivar em relação a novamente.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a . Ou seja, derivamos em relação a .

Passo 6

Finalmente, somamos as segundas derivadas parciais que calculamos:

Resposta

Como , a função satisfaz a equação de Laplace.

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