Mostre que
satisfaz uma equação de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação de Laplace. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais parciais, especificamente a equação de Laplace, que é importante em áreas como física e engenharia para modelar fenômenos como campos elétricos e gravitacionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
e somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Isso significa derivar
em relação a
novamente.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, derivamos
em relação a
.
Passo 6
Finalmente, somamos as segundas derivadas parciais que calculamos:
Resposta
Como
, a função
satisfaz a equação de Laplace.