Determine a equação do plano que passa pelo ponto (2,0,1) e é paralelo aos vetores v1=(1,0,0) e v2=(1,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto (2,0,1) e é paralelo aos vetores v1=(1,0,0) e v2=(1,0,2). Para isso, vamos precisar usar o conceito de vetores normais e produto vetorial na matéria de Geometria Analítica.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar um vetor normal ao plano. Como o plano é paralelo aos vetores v1 e v2, o vetor normal será perpendicular a ambos. Para encontrar esse vetor normal, usamos o produto vetorial dos vetores v1 e v2.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v1 times v2:
v1 times v2 = i & j & k 1 & 0 & 0 1 & 0 & 2 = i(0 cdot 2 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 2 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 0 cdot 1)
v1 times v2 = i(0) - j(2) + k(0) = (0, -2, 0)
Então, o vetor normal ao plano é (0, -2, 0).

Passo 4

Com o vetor normal n = (0, -2, 0) e o ponto P0 = (2,0,1), podemos usar a equação do plano na forma ponto-normal:
n cdot (X - P0) = 0
Onde X = (x, y, z) é um ponto qualquer no plano.

Passo 5

Substituindo os valores, temos:
(0, -2, 0) cdot ( (x, y, z) - (2, 0, 1) ) = 0
0(x - 2) + (-2)(y - 0) + 0(z - 1) = 0
-2y = 0

Resposta

Portanto, a equação do plano é simplesmente y = 0.

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