Considere uma série de potências na qual os coeficientes se repetem ciclicamente, , onde é qualquer e é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências da forma onde os coeficientes se repetem ciclicamente a cada termos, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série e também a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Para encontrar o raio de convergência de uma série de potências, usamos a fórmula de Cauchy-Hadamard:
Isso significa que precisamos calcular o limite superior de quando tende ao infinito.

Passo 3

Como os coeficientes se repetem ciclicamente a cada termos ( ), isso implica que os valores de são periódicos com período . Portanto, ao elevar a , conforme cresce, essa expressão tende a 1, porque estamos levantando um número fixo a uma potência que se aproxima de zero.
Então:

Passo 4

Agora, aplicando isso na fórmula de Cauchy-Hadamard:
Então, o raio de convergência da série é 1.

Passo 5

Vamos agora encontrar a soma da série. Sabemos que os coeficientes se repetem a cada termos. Podemos reescrever a série agrupando esses termos repetidos:
Aqui, varia de a , e para cada , somamos os termos que se repetem a cada múltiplo de .

Passo 6

A soma interna é uma série geométrica com razão . A soma de uma série geométrica é dada por , desde que .
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
Portanto, a soma da série é:

Resposta

O raio de convergência da série é e a soma da série é dada por:

Exercícios relacionados

Mostre que (observe que a função só está definida para ).
Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se então:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Determine o domínio das funções abaixo: