Considere uma série de potências sumn=0^infty an z^n na qual os coeficientes se repetem ciclicamente, an+k=an, onde n é qualquer e k >= 0 é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências da forma sumn=0^infty an z^n onde os coeficientes an se repetem ciclicamente a cada k termos, ou seja, an+k = an. Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série e também a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Para encontrar o raio de convergência R de uma série de potências, usamos a fórmula de Cauchy-Hadamard:
1R = limsupn to infty |an|^1/n
Isso significa que precisamos calcular o limite superior de |an|^1/n quando n tende ao infinito.

Passo 3

Como os coeficientes se repetem ciclicamente a cada k termos ( an+k = an), isso implica que os valores de an são periódicos com período k. Portanto, ao elevar |an| a 1/n, conforme n cresce, essa expressão tende a 1, porque estamos levantando um número fixo a uma potência que se aproxima de zero.
Então:
limsupn to infty |an|^1/n = 1

Passo 4

Agora, aplicando isso na fórmula de Cauchy-Hadamard:
1R = 1 Rightarrow R = 1
Então, o raio de convergência R da série é 1.

Passo 5

Vamos agora encontrar a soma da série. Sabemos que os coeficientes an se repetem a cada k termos. Podemos reescrever a série agrupando esses termos repetidos:
sumn=0^infty an z^n = summ=0^k-1 am z^m sumn=0^infty z^kn
Aqui, m varia de 0 a k-1, e para cada m, somamos os termos que se repetem a cada múltiplo de k.

Passo 6

A soma interna sumn=0^infty z^kn é uma série geométrica com razão z^k. A soma de uma série geométrica sumn=0^infty r^n é dada por 11 - r, desde que |r| < 1.
Então:
sumn=0^infty z^kn = 11 - z^k, para |z| < 1

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
sumn=0^infty an z^n = summ=0^k-1 am z^m cdot 11 - z^k = 11 - z^k summ=0^k-1 am z^m
Portanto, a soma da série é:
sumn=0^infty an z^n = summ=0^k-1 am z^m1 - z^k

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1 e a soma da série é dada por:
sumn=0^infty an z^n = summ=0^k-1 am z^m1 - z^k

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