Considere uma série de potências
na qual os coeficientes se repetem ciclicamente,
, onde
é qualquer e
é fixado. Calcule seu raio de convergência e sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências da forma
onde os coeficientes
se repetem ciclicamente a cada
termos, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série e também a soma dela.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Para encontrar o raio de convergência
de uma série de potências, usamos a fórmula de Cauchy-Hadamard:
Isso significa que precisamos calcular o limite superior de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Como os coeficientes se repetem ciclicamente a cada
termos (
), isso implica que os valores de
são periódicos com período
. Portanto, ao elevar
a
, conforme
cresce, essa expressão tende a 1, porque estamos levantando um número fixo a uma potência que se aproxima de zero.
Então:
Passo 4
Agora, aplicando isso na fórmula de Cauchy-Hadamard:
Então, o raio de convergência
da série é 1.
Passo 5
Vamos agora encontrar a soma da série. Sabemos que os coeficientes
se repetem a cada
termos. Podemos reescrever a série agrupando esses termos repetidos:
Aqui,
varia de
a
, e para cada
, somamos os termos que se repetem a cada múltiplo de
.
Passo 6
A soma interna
é uma série geométrica com razão
. A soma de uma série geométrica
é dada por
, desde que
.
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Portanto, a soma da série é:
Resposta
O raio de convergência da série é
e a soma da série é dada por:
Exercícios relacionados
Mostre que
(observe que a função só está definida para
).
Mostre, usando o produto de séries (Proposição 2.7), que se
então:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique.
Determine o domínio das funções abaixo: