Mostre que se , os conjuntos e são bases de e , respectivamente, então é uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se , e se e são bases de e respectivamente, então o conjunto é uma base de . Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma soma direta de subespaços e as propriedades de bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Em outras palavras, cada pode ser expresso como , onde e , e não há duas maneiras diferentes de escrever assim.
Passo 3
Agora, sabemos que é uma base de . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e que eles são linearmente independentes. O mesmo vale para em .
Passo 4
Para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas:
Espalhamento (Span): Todo vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto.
Independência Linear: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 5
Espalhamento: Como , qualquer pode ser escrito como , com e . Como é gerado por e por , então e podem ser escritos como combinações lineares desses vetores. Logo, pode ser escrito como uma combinação linear de .
Passo 6
Independência Linear: Suponha que exista uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Como e se intersectam apenas no vetor zero (por serem uma soma direta), isso implica que:
Como e são bases, todos os coeficientes e devem ser zero. Portanto, o conjunto é linearmente independente.
Resposta
Assim, mostramos que é uma base de , pois satisfaz tanto o espalhamento quanto a independência linear.