Mostre que se V=U oplus W, os conjuntos u1, ldots, uk e w1, ldots, wr são bases de U e W, respectivamente, então u1, ldots, uk, w1, ldots, wr é uma base de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se , e se e são bases de e respectivamente, então o conjunto é uma base de . Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma soma direta de subespaços e as propriedades de bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Em outras palavras, cada pode ser expresso como , onde e , e não há duas maneiras diferentes de escrever assim.

Passo 3

Agora, sabemos que é uma base de . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e que eles são linearmente independentes. O mesmo vale para em .

Passo 4

Para mostrar que é uma base de , precisamos verificar duas coisas:
  1. Espalhamento (Span): Todo vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores desse conjunto.
  2. Independência Linear: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 5

Espalhamento: Como , qualquer pode ser escrito como , com e . Como é gerado por e por , então e podem ser escritos como combinações lineares desses vetores. Logo, pode ser escrito como uma combinação linear de .

Passo 6

Independência Linear: Suponha que exista uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Como a1u1 + ldots + akuk + b1w1 + ldots + brwr = 0 e a1u1 + ldots + akuk = 0 e b1w1 + ldots + brwr = 0 se intersectam apenas no vetor zero (por serem uma soma direta), isso implica que:
Como e são bases, todos os coeficientes e devem ser zero. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

Assim, mostramos que é uma base de , pois satisfaz tanto o espalhamento quanto a independência linear.

Exercícios relacionados

Dados os subespaços vetoriais de R^3 e R^4 abaixo, faça o que se pede:
  • Determine um sistema de geradores para cada um deles;
  • Determine uma base para cada um deles;
  • Determine a dimensão de cada um dos subespaços dados.
    (a) U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0
    (b) V=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y=z+t
    © W=x, y, z) in R^3 ; x-2 y=0
    (d) S=(x, y, z) in R^3 ; x+=0 e x-2 y=0
    (e) T=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y-3 z=0
    (f) W cap S
    (g) S+T
Seja V=Mn R o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Sejam U=A in Mn(R) ; A=A^t e W=A in Mn(R) ; A= -A^t.
(a) Mostre que U e W são subespaços vetoriais de Mn(R).
(b) Determine a dimensão de U e a dimensão de W.
© Mostre que Mn(R)=U oplus W.
Sejam os conjuntos
W1=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0, z-t=0 e W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0.
a) Eles são subespaços?
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
f) r1:lx=2+t y=4-t z=-t
e r2:ly=6-x z=2-x