Vamos lá! O enunciado nos apresenta dois conjuntos e dentro do espaço . A matéria que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para verificar se esses conjuntos são subespaços, precisamos checar três propriedades básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto .
Verificação do vetor zero:
Substituindo , , , e nas equações, temos:
Portanto, o vetor zero está em .
Passo 3
Fechamento na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e . Eles satisfazem:
Somando os dois vetores:
Verificamos:
Portanto, a soma está em .
Passo 4
Fechamento na multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em , , que satisfaz e , e multiplicamos por um escalar :
Verificamos:
Assim, o vetor resultante também está em .
Passo 5
Agora, vamos analisar o conjunto .
Verificação do vetor zero:
Substituindo , , , e na equação, temos:
Portanto, o vetor zero está em .
Passo 6
Fechamento na adição:
Pegamos dois vetores quaisquer em , e , que satisfazem:
Somando os dois vetores:
Verificamos:
Portanto, a soma está em .
Passo 7
Fechamento na multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em , , que satisfaz , e multiplicamos por um escalar :