Sejam os conjuntos
W1=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0, z-t=0 e W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0.
a) Eles são subespaços?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta dois conjuntos e dentro do espaço . A matéria que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para verificar se esses conjuntos são subespaços, precisamos checar três propriedades básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto 0 + 0 = 0 e 0 - 0 = 0 .
Verificação do vetor zero:
Substituindo , , , e nas equações, temos:
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Fechamento na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em x1 + y1 = 0 e z1 - t1 = 0 , digamos x2 + y2 = 0 e z2 - t2 = 0 e (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) . Eles satisfazem:
(x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 0 + 0 = 0
(z1 + z2) - (t1 + t2) = (z1 - t1) + (z2 - t2) = 0 + 0 = 0
Somando os dois vetores:
Verificamos:
Portanto, a soma está em .

Passo 4

Fechamento na multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em (k x, k y, k z, k t) , k x + k y = k (x + y) = k cdot 0 = 0 , que satisfaz k z - k t = k (z - t) = k cdot 0 = 0 e , e multiplicamos por um escalar :
Verificamos:
Assim, o vetor resultante também está em .

Passo 5

Agora, vamos analisar o conjunto 0 - 0 - 0 + 0 = 0 .
Verificação do vetor zero:
Substituindo , , , e na equação, temos:
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 6

Fechamento na adição:
Pegamos dois vetores quaisquer em x1 - y1 - z1 + t1 = 0 , x2 - y2 - z2 + t2 = 0 e (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) , que satisfazem:
(x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2) + (t1 + t2) = (x1 - y1 - z1 + t1) + (x2 - y2 - z2 + t2) = 0 + 0 = 0
Somando os dois vetores:
Verificamos:
Portanto, a soma está em .

Passo 7

Fechamento na multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em (k x, k y, k z, k t) , k x - k y - k z + k t = k (x - y - z + t) = k cdot 0 = 0 , que satisfaz , e multiplicamos por um escalar :
Verificamos:
Assim, o vetor resultante também está em .

Resposta

Sim, ambos os conjuntos e são subespaços de .

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  • Determine uma base para cada um deles;
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    (a) U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0
    (b) V=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y=z+t
    © W=x, y, z) in R^3 ; x-2 y=0
    (d) S=(x, y, z) in R^3 ; x+=0 e x-2 y=0
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