Seja V=Mn R o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Sejam U=A in Mn(R) ; A=A^t e W=A in Mn(R) ; A= -A^t.
(a) Mostre que U e W são subespaços vetoriais de Mn(R).
(b) Determine a dimensão de U e a dimensão de W.
© Mostre que Mn(R)=U oplus W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra linear que envolve matrizes quadradas e subespaços vetoriais. A gente vai trabalhar com o espaço das matrizes quadradas de ordem , denotado por . As duas partes que vamos analisar são conjuntos de matrizes simétricas ( ) e antissimétricas ( ). Precisamos mostrar que e são subespaços, descobrir suas dimensões e provar que todo espaço de matrizes pode ser decomposto como a soma direta desses dois subespaços. Para resolver isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, combinações lineares e propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são subespaços vetoriais. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos verificar essas condições para e .

Passo 3

Vamos verificar para , que é o conjunto de todas as matrizes simétricas ( ). Primeiro, a matriz zero é simétrica porque . Se você pegar duas matrizes simétricas e , a soma também será simétrica, pois . Além disso, se você multiplicar uma matriz simétrica por um escalar , também será simétrica, já que . Portanto, é um subespaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos para , que é o conjunto de todas as matrizes antissimétricas ( ). A matriz zero também é antissimétrica porque . Se escolhermos duas matrizes antissimétricas e , a soma será antissimétrica: . Além disso, multiplicar uma matriz antissimétrica por um escalar resulta em , que também é antissimétrica, já que . Assim, também é um subespaço vetorial.

Passo 5

Agora que mostramos que e são subespaços vetoriais, vamos determinar suas dimensões. Para isso, precisamos contar o número de elementos independentes em cada conjunto.

Passo 6

Para , as matrizes simétricas, os elementos acima (ou abaixo) da diagonal determinam toda a matriz. Na diagonal, há elementos, e acima dela há elementos. Portanto, a dimensão de é .

Passo 7

Já para , as matrizes antissimétricas, a diagonal é composta por zeros (porque implica ). Acima da diagonal, temos elementos que podem ser escolhidos livremente, e os elementos abaixo são determinados por esses. Assim, a dimensão de é .

Passo 8

Por fim, vamos mostrar que todo espaço de matrizes pode ser decomposto como a soma direta de e , ou seja, . Isso significa que qualquer matriz pode ser escrita de forma única como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.

Resposta

Concluímos que e são subespaços vetoriais de , com dimensões e respectivamente, e que todo espaço de matrizes pode ser decomposto de forma única como a soma direta desses dois subespaços, ou seja, .

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