Seja
o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem
. Sejam
e
.
(a) Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
.
(b) Determine a dimensão de
e a dimensão de
.
© Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Determine a dimensão de
© Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra linear que envolve matrizes quadradas e subespaços vetoriais. A gente vai trabalhar com o espaço das matrizes quadradas de ordem
, denotado por
. As duas partes que vamos analisar são conjuntos de matrizes simétricas (
) e antissimétricas (
). Precisamos mostrar que
e
são subespaços, descobrir suas dimensões e provar que todo espaço de matrizes pode ser decomposto como a soma direta desses dois subespaços. Para resolver isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, combinações lineares e propriedades de matrizes simétricas e antissimétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são subespaços vetoriais. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz três condições: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar. Vamos verificar essas condições para
e
.
Passo 3
Vamos verificar para
, que é o conjunto de todas as matrizes simétricas (
). Primeiro, a matriz zero é simétrica porque
. Se você pegar duas matrizes simétricas
e
, a soma
também será simétrica, pois
. Além disso, se você multiplicar uma matriz simétrica por um escalar
,
também será simétrica, já que
. Portanto,
é um subespaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos para
, que é o conjunto de todas as matrizes antissimétricas (
). A matriz zero também é antissimétrica porque
. Se escolhermos duas matrizes antissimétricas
e
, a soma
será antissimétrica:
. Além disso, multiplicar uma matriz antissimétrica por um escalar
resulta em
, que também é antissimétrica, já que
. Assim,
também é um subespaço vetorial.
Passo 5
Agora que mostramos que
e
são subespaços vetoriais, vamos determinar suas dimensões. Para isso, precisamos contar o número de elementos independentes em cada conjunto.
Passo 6
Para
, as matrizes simétricas, os elementos acima (ou abaixo) da diagonal determinam toda a matriz. Na diagonal, há
elementos, e acima dela há
elementos. Portanto, a dimensão de
é
.
Passo 7
Já para
, as matrizes antissimétricas, a diagonal é composta por zeros (porque
implica
). Acima da diagonal, temos
elementos que podem ser escolhidos livremente, e os elementos abaixo são determinados por esses. Assim, a dimensão de
é
.
Passo 8
Por fim, vamos mostrar que todo espaço de matrizes
pode ser decomposto como a soma direta de
e
, ou seja,
. Isso significa que qualquer matriz pode ser escrita de forma única como a soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.
Resposta
Concluímos que
e
são subespaços vetoriais de
, com dimensões
e
respectivamente, e que todo espaço de matrizes
pode ser decomposto de forma única como a soma direta desses dois subespaços, ou seja,
.