Dados os subespaços vetoriais de R^3 e R^4 abaixo, faça o que se pede:
  • Determine um sistema de geradores para cada um deles;
  • Determine uma base para cada um deles;
  • Determine a dimensão de cada um dos subespaços dados.
    (a) U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0
    (b) V=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y=z+t
    © W=x, y, z) in R^3 ; x-2 y=0
    (d) S=(x, y, z) in R^3 ; x+=0 e x-2 y=0
    (e) T=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y-3 z=0
    (f) W cap S
    (g) S+T

Passo 1

Vamos resolver cada item do exercício sobre subespaços vetoriais em e . Para cada subespaço, vamos:
  1. Determinar um sistema de geradores: encontrar vetores que, combinados de todas as formas possíveis, geram todo o subespaço.
  2. Determinar uma base: encontrar um conjunto mínimo de vetores que geram o subespaço e são linearmente independentes.
  3. Determinar a dimensão: contar quantos vetores existem na base, que representa a dimensão do subespaço.

Passo 2

(a) x = y + z - t

Primeiro, vamos reescrever a equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para (y + z - t, , y, , z, , t) = y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(-1, 0, 0, 1) :
Agora, podemos expressar qualquer vetor em como:
  • Sistema de geradores:
  • Base: O mesmo conjunto é uma base, pois os vetores são linearmente independentes.
  • Dimensão: 3

Passo 3

(b) x = y + z + t

Reescrevendo a equação:
(y + z + t, , y, , z, , t) = y(1, 1, 0, 0) + z(1, 0, 1, 0) + t(1, 0, 0, 1)
Expressamos o vetor como:
  • Sistema de geradores:
  • Base: Os vetores são linearmente independentes, então formam uma base.
  • Dimensão: 3

Passo 4

© x = 2y

A equação nos dá:
(2y, , y, , z) = y(2, 1, 0) + z(0, 0, 1)
Expressamos o vetor como:
  • Sistema de geradores:
  • Base: Os vetores são linearmente independentes.
  • Dimensão: 2

Passo 5

(d) 0 - 2y = 0 Rightarrow y = 0

Primeiro, da equação (0, 0, z) = z(0, 0, 1) , já temos que . A segunda equação se reduz a:
Portanto, e , deixando livre.
Expressamos o vetor como:
  • Sistema de geradores:
  • Base:
  • Dimensão: 1

Passo 6

(e) x = -2y + 3z

Reescrevendo a equação para (-2y + 3z, , y, , z) = y(-2, 1, 0) + z(3, 0, 1) :
Expressamos o vetor como:
  • Sistema de geradores:
  • Base: Os vetores são linearmente independentes.
  • Dimensão: 2

Passo 7

(f) (0, 0, z) = z(0, 0, 1)

Queremos encontrar os vetores que estão tanto em quanto em .
De :
De : e
Substituindo em , obtemos .
Portanto, os vetores em têm e , deixando livre.
Expressamos o vetor como:
  • Sistema de geradores:
  • Base:
  • Dimensão: 1

Passo 8

(g) (0 + (-2y + 3z2), , 0 + y, , z1 + z2) = (-2y + 3z2, , y, , z1 + z2)

Queremos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de y(-2, 1, 0) + z2(3, 0, 1) + z1(0, 0, 1) e um vetor de (-2y + 3z, , y, , z) .
De :
De :
Somando:
Podemos expressar isso como:
Note que pode ser substituído por uma única variável .
Então:
  • Sistema de geradores:
  • Base: Os vetores são linearmente independentes.
  • Dimensão: 2

Resposta

Todas as partes foram resolvidas conforme os passos acima. Se precisar de mais detalhes sobre algum item específico, fique à vontade para perguntar!

Exercícios relacionados

Seja V=Mn R o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Sejam U=A in Mn(R) ; A=A^t e W=A in Mn(R) ; A= -A^t.
(a) Mostre que U e W são subespaços vetoriais de Mn(R).
(b) Determine a dimensão de U e a dimensão de W.
© Mostre que Mn(R)=U oplus W.
Seja A=(ai j)3 times 3 tal que det(A)=3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
[llla11 & a12 & a13+a12 a21 & a22 & a23+a22 a31 & a32 & a33+a32]
[llla11+a12 & a11-a12 & a13 a21+a22 & a21-a22 & a23 a31+a32 & a31-a32 & a33]
Mostre que se V=U oplus W, os conjuntos u1, ldots, uk e w1, ldots, wr são bases de U e W, respectivamente, então u1, ldots, uk, w1, ldots, wr é uma base de V.
Sejam os conjuntos
W1=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0, z-t=0 e W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0.
a) Eles são subespaços?