Dados os subespaços vetoriais de
e
abaixo, faça o que se pede:
- Determine um sistema de geradores para cada um deles;
- Determine uma base para cada um deles;
- Determine a dimensão de cada um dos subespaços dados.
(a)
(b)
©
(d)
e
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Vamos resolver cada item do exercício sobre subespaços vetoriais em
e
. Para cada subespaço, vamos:
- Determinar um sistema de geradores: encontrar vetores que, combinados de todas as formas possíveis, geram todo o subespaço.
- Determinar uma base: encontrar um conjunto mínimo de vetores que geram o subespaço e são linearmente independentes.
- Determinar a dimensão: contar quantos vetores existem na base, que representa a dimensão do subespaço.
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos reescrever a equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para
:
Agora, podemos expressar qualquer vetor em
como:
- Sistema de geradores:
- Base: O mesmo conjunto é uma base, pois os vetores são linearmente independentes.
- Dimensão: 3
Passo 3
(b)
Reescrevendo a equação:
Expressamos o vetor como:
- Sistema de geradores:
- Base: Os vetores são linearmente independentes, então formam uma base.
- Dimensão: 3
Passo 4
©
A equação nos dá:
Expressamos o vetor como:
- Sistema de geradores:
- Base: Os vetores são linearmente independentes.
- Dimensão: 2
Passo 5
(d)
Primeiro, da equação
, já temos que
. A segunda equação
se reduz a:
Portanto,
e
, deixando
livre.
Expressamos o vetor como:
- Sistema de geradores:
- Base:
- Dimensão: 1
Passo 6
(e)
Reescrevendo a equação para
:
Expressamos o vetor como:
- Sistema de geradores:
- Base: Os vetores são linearmente independentes.
- Dimensão: 2
Passo 7
(f)
Queremos encontrar os vetores que estão tanto em
quanto em
.
De
:
De
:
e
Substituindo
em
, obtemos
.
Portanto, os vetores em
têm
e
, deixando
livre.
Expressamos o vetor como:
- Sistema de geradores:
- Base:
- Dimensão: 1
Passo 8
(g)
Queremos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
De
:
De
:
Somando:
Podemos expressar isso como:
Note que
pode ser substituído por uma única variável
.
Então:
- Sistema de geradores:
- Base: Os vetores são linearmente independentes.
- Dimensão: 2
Resposta
Todas as partes foram resolvidas conforme os passos acima. Se precisar de mais detalhes sobre algum item específico, fique à vontade para perguntar!
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem
. Sejam
e
.
(a) Mostre que e
são subespaços vetoriais de
.
(b) Determine a dimensão de e a dimensão de
.
© Mostre que .
(a) Mostre que
(b) Determine a dimensão de
© Mostre que
Seja
tal que
. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
[llla11+a12 & a11-a12 & a13 a21+a22 & a21-a22 & a23 a31+a32 & a31-a32 & a33]
Mostre que se
V=U oplus W , os conjuntos
u1, ldots, uk e
w1, ldots, wr são bases de
U e
W , respectivamente, então
u1, ldots, uk, w1, ldots, wr é uma base de
V .
Sejam os conjuntos
W1=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0, z-t=0 e
W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y-z+t=0 .
a) Eles são subespaços?
a) Eles são subespaços?