(a) Mostre que
(b) Sob que condições esta expressão se torna uma igualdade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar uma desigualdade envolvendo médias ponderadas e depois descobrir quando essa desigualdade se torna uma igualdade. Vamos usar conceitos de médias ponderadas e álgebra básica para isso. Precisaremos manipular frações e entender como comparar duas médias diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da desigualdade representa. Temos:
Aqui,
e
podem representar velocidades,
e
distâncias, e
e
tempos. A primeira fração é uma média ponderada das velocidades pela distância, e a segunda é uma média ponderada das velocidades pelo tempo.
Passo 3
Para mostrar que:
Vamos multiplicar ambos os lados pelaquilo que está no denominador para eliminar as frações. Mas antes, precisamos lembrar que, para multiplicar ou dividir por uma express��o, devemos ter certeza de que ela é positiva. Como distâncias e tempos são positivos, estamos seguros.
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir ambas as expressões:
À esquerda:
À direita:
Passo 5
Subtraindo o lado direito do lado esquerdo, temos:
Simplificando, cancelam-se os termos iguais:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos:
Perceba que
, então podemos escrever:
Passo 7
Para que o produto
seja maior ou igual a zero, ou seja, não negativo, as duas expressões dentro dos parênteses devem ser do mesmo sinal:
- Caso 1:
e - Caso 2:
e
Esses casos garantem que o produto seja positivo ou zero.
Resposta
Assim, demonstramos que:
E a igualdade ocorre quando
ou quando
.
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, entre as intensidades das velocidades da primeira e da segunda bola, varia com o pas-sar do tempo? Despreze a resistência do ar e forneça respostas qualitativas.
Se
é uma pedra leve e
uma pedra pesada, de acordo com Aristóteles,
deve cair mais rápido do que m. Galileu tentou mostrar que a idéia de Aristóteles possui uma inconsistência lógica a partir do seguinte argumento. Amarre me M de modo que elas formem uma pedra dupla. Então, durante a queda,
deveria retardar M , uma vez que ela tende a cair mais lentamente e, assim, o conjunto deve cair mais. rápido do que m e mais lento do que M ; contudo, de acordo com Aristóteles, o corpo duplo
é mais pesado do que M e, portanto, deveria cair mais rápido do que
você aceita o raciocínio de Galileu, pode concluir que Me m devem cair da mesma forma? O que é necessário para um experimento desse caso? Se você acredita que o raciocínio de Galileu está incorreto, explique por quê.
(a) Trace
versus
durante o intervalo dos primeiros 10
(b) A partir da curva da parte (a), trace a curva correspondente versus
e estime a velocidade do elétron 5 s após o início do movimento.
© A partir da curva versus
da parte (b), trace a curva correspondente
versus
e estime a qual a distância percorrida pelo elétron durante os primeiros 5 s do movimento.
(b) A partir da curva da parte (a), trace a curva correspondente
© A partir da curva
Velocidade <br> Inicial <br>
|
Distância <br> de Reação <br>
|
Distância <br> de Frenagem <br>
|
Distância <br> de Parada <br>
|
---|---|---|---|
10 | 7,5 | 5,0 | 12,5 |
20 | 15 | 20 | 35 |
30 | 22,5 | 45 | 67,5 |
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(b) Qual é a distância de parada de um carro que possui uma velocidade inicial de ?
(b) Qual é a distância de parada de um carro que possui uma velocidade inicial de