(a) Mostre que
(b) Sob que condições esta expressão se torna uma igualdade?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar uma desigualdade envolvendo médias ponderadas e depois descobrir quando essa desigualdade se torna uma igualdade. Vamos usar conceitos de médias ponderadas e álgebra básica para isso. Precisaremos manipular frações e entender como comparar duas médias diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da desigualdade representa. Temos:
Aqui,
e
podem representar velocidades,
e
distâncias, e
e
tempos. A primeira fração é uma média ponderada das velocidades pela distância, e a segunda é uma média ponderada das velocidades pelo tempo.
Passo 3
Para mostrar que:
Vamos multiplicar ambos os lados pelaquilo que está no denominador para eliminar as frações. Mas antes, precisamos lembrar que, para multiplicar ou dividir por uma express��o, devemos ter certeza de que ela é positiva. Como distâncias e tempos são positivos, estamos seguros.
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir ambas as expressões:
À esquerda:
À direita:
Passo 5
Subtraindo o lado direito do lado esquerdo, temos:
Simplificando, cancelam-se os termos iguais:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos:
Perceba que
, então podemos escrever:
Passo 7
Para que o produto
seja maior ou igual a zero, ou seja, não negativo, as duas expressões dentro dos parênteses devem ser do mesmo sinal:
- Caso 1:
e - Caso 2:
e
Esses casos garantem que o produto seja positivo ou zero.
Resposta
Assim, demonstramos que:
E a igualdade ocorre quando
ou quando
.