(a) Mostre que
v1 d1+v2 d2d1+d2 >= v1 t1+v2 t2t1+t2
(b) Sob que condições esta expressão se torna uma igualdade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar uma desigualdade envolvendo médias ponderadas e depois descobrir quando essa desigualdade se torna uma igualdade. Vamos usar conceitos de médias ponderadas e álgebra básica para isso. Precisaremos manipular frações e entender como comparar duas médias diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da desigualdade representa. Temos:
v1 d1 + v2 d2d1 + d2 e v1 t1 + v2 t2t1 + t2
Aqui, e podem representar velocidades, e distâncias, e e tempos. A primeira fração é uma média ponderada das velocidades pela distância, e a segunda é uma média ponderada das velocidades pelo tempo.

Passo 3

Para mostrar que:
v1 d1 + v2 d2d1 + d2 >= v1 t1 + v2 t2t1 + t2
Vamos multiplicar ambos os lados pelaquilo que está no denominador para eliminar as frações. Mas antes, precisamos lembrar que, para multiplicar ou dividir por uma express��o, devemos ter certeza de que ela é positiva. Como distâncias e tempos são positivos, estamos seguros.
Multiplicando ambos os lados por (v1 d1 + v2 d2)(t1 + t2) >= (v1 t1 + v2 t2)(d1 + d2) , temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir ambas as expressões:
À esquerda:
v1 d1 t1 + v1 d1 t2 + v2 d2 t1 + v2 d2 t2
À direita:
v1 t1 d1 + v1 t1 d2 + v2 t2 d1 + v2 t2 d2

Passo 5

Subtraindo o lado direito do lado esquerdo, temos:
Simplificando, cancelam-se os termos iguais:
(v1 d1 t1 + v1 d1 t2 + v2 d2 t1 + v2 d2 t2) - (v1 t1 d1 + v1 t1 d2 + v2 t2 d1 + v2 t2 d2) >= 0

Passo 6

Vamos reorganizar os termos:
v1 (d1 t2 - t1 d2) + v2 (d2 t1 - t2 d1) ) >= 0
Perceba que (v1 - v2) (d1 t2 - t1 d2) >= 0 , então podemos escrever:

Passo 7

Para que o produto seja maior ou igual a zero, ou seja, não negativo, as duas expressões dentro dos parênteses devem ser do mesmo sinal:
  1. Caso 1: e
  2. Caso 2: e
Esses casos garantem que o produto seja positivo ou zero.

Resposta

Assim, demonstramos que:
v1 d1 + v2 d2d1 + d2 >= v1 t1 + v2 t2t1 + t2
E a igualdade ocorre quando ou quando .

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