(a) Mostre que
(b) Sob que condições esta expressão se torna uma igualdade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar uma desigualdade envolvendo médias ponderadas e depois descobrir quando essa desigualdade se torna uma igualdade. Vamos usar conceitos de médias ponderadas e álgebra básica para isso. Precisaremos manipular frações e entender como comparar duas médias diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da desigualdade representa. Temos:
Aqui, e podem representar velocidades, e distâncias, e e tempos. A primeira fração é uma média ponderada das velocidades pela distância, e a segunda é uma média ponderada das velocidades pelo tempo.

Passo 3

Para mostrar que:
Vamos multiplicar ambos os lados pelaquilo que está no denominador para eliminar as frações. Mas antes, precisamos lembrar que, para multiplicar ou dividir por uma express��o, devemos ter certeza de que ela é positiva. Como distâncias e tempos são positivos, estamos seguros.
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir ambas as expressões:
À esquerda:
À direita:

Passo 5

Subtraindo o lado direito do lado esquerdo, temos:
Simplificando, cancelam-se os termos iguais:

Passo 6

Vamos reorganizar os termos:
Perceba que , então podemos escrever:

Passo 7

Para que o produto seja maior ou igual a zero, ou seja, não negativo, as duas expressões dentro dos parênteses devem ser do mesmo sinal:
  1. Caso 1: e
  2. Caso 2: e
Esses casos garantem que o produto seja positivo ou zero.

Resposta

Assim, demonstramos que:
E a igualdade ocorre quando ou quando .

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(a) Trace versus durante o intervalo dos primeiros 10
(b) A partir da curva da parte (a), trace a curva correspondente versus e estime a velocidade do elétron 5 s após o início do movimento.
© A partir da curva versus da parte (b), trace a curva correspondente versus e estime a qual a distância percorrida pelo elétron durante os primeiros 5 s do movimento.
Velocidade <br> Inicial <br> Distância <br> de Reação <br> Distância <br> de Frenagem <br> Distância <br> de Parada <br>
10 7,5 5,0 12,5
20 15 20 35
30 22,5 45 67,5
(a) Qual é o tempo de reação considerado para o motorista?
(b) Qual é a distância de parada de um carro que possui uma velocidade inicial de ?