Uma segunda bola é lançada desde um elevador, para baixo, 1 s após o lançamento da primeira bola. (b) Como a relação , entre as intensidades das velocidades da primeira e da segunda bola, varia com o pas-sar do tempo? Despreze a resistência do ar e forneça respostas qualitativas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos duas bolas sendo lançadas para baixo de um elevador. A segunda bola é lançada 1 segundo depois da primeira. Nosso objetivo é descobrir como a relação entre as velocidades das duas bolas, representada por , muda com o passar do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento com aceleração constante devido à gravidade. Vamos precisar considerar o tempo que cada bola está em queda e como suas velocidades se desenvolvem ao longo desse período.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que sabemos:
  • Primeira bola: Lançada para baixo no tempo .
  • Segunda bola: Lançada para baixo no tempo segundo.
Vamos assumir que ambas as bolas são lançadas com a mesma velocidade inicial e que a única aceleração atuando é a gravidade (aproximadamente ²) para baixo.

Passo 3

Agora, vamos expressar as velocidades das duas bolas em função do tempo.
  • Velocidade da primeira bola ( ):
    Como a primeira bola é lançada no tempo , sua velocidade após um tempo é dada por:
  • Velocidade da segunda bola ( ):
    A segunda bola é lançada 1 segundo depois, então ela só começa a acelerar após . Portanto, o tempo efetivo de queda para a segunda bola é segundos. Assim, sua velocidade é:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a relação . Vamos substituir as expressões que encontramos:

Passo 5

Para simplificar, podemos dividir todas as partes da fração por :
Isso nos mostra que a relação depende do tempo e da velocidade inicial .

Passo 6

Vamos analisar como essa relação varia com o tempo:
  • Quando aumenta: O termo no numerador e no denominador cresce, mas no denominador temos , o que significa que a diferença entre os tempos afeta a relação.
  • Comportamento assintótico: À medida que se torna muito grande, a relação se aproxima de 1, porque a diferença de 1 segundo se torna menos significativa comparada ao tempo total de queda.

Passo 7

Portanto, a relação começa maior que 1 quando é pouco maior que 1 segundo e diminui ao longo do tempo, aproximando-se de 1 conforme o tempo passa e ambas as bolas aceleram igualmente devido à gravidade.

Resposta

A relação diminui com o passar do tempo, começando acima de 1 e aproximando-se de 1 conforme ambos os objetos aceleram igualmente devido à gravidade.

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