Uma segunda bola é lançada desde um elevador, para baixo, 1 s após o lançamento da primeira bola. (b) Como a relação
, entre as intensidades das velocidades da primeira e da segunda bola, varia com o pas-sar do tempo? Despreze a resistência do ar e forneça respostas qualitativas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos duas bolas sendo lançadas para baixo de um elevador. A segunda bola é lançada 1 segundo depois da primeira. Nosso objetivo é descobrir como a relação entre as velocidades das duas bolas, representada por
, muda com o passar do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações de movimento com aceleração constante devido à gravidade. Vamos precisar considerar o tempo que cada bola está em queda e como suas velocidades se desenvolvem ao longo desse período.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que sabemos:
- Primeira bola: Lançada para baixo no tempo
. - Segunda bola: Lançada para baixo no tempo
segundo.
Vamos assumir que ambas as bolas são lançadas com a mesma velocidade inicial
e que a única aceleração atuando é a gravidade
(aproximadamente
) para baixo.
Passo 3
Agora, vamos expressar as velocidades das duas bolas em função do tempo.
-
Velocidade da primeira bola (
):
Como a primeira bola é lançada no tempo, sua velocidade após um tempo é dada por: -
Velocidade da segunda bola (
):
A segunda bola é lançada 1 segundo depois, então ela só começa a acelerar após. Portanto, o tempo efetivo de queda para a segunda bola é segundos. Assim, sua velocidade é:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a relação
. Vamos substituir as expressões que encontramos:
Passo 5
Para simplificar, podemos dividir todas as partes da fração por
:
Isso nos mostra que a relação depende do tempo
e da velocidade inicial
.
Passo 6
Vamos analisar como essa relação varia com o tempo:
- Quando
aumenta: O termo no numerador e no denominador cresce, mas no denominador temos , o que significa que a diferença entre os tempos afeta a relação. - Comportamento assintótico: À medida que
se torna muito grande, a relação se aproxima de 1, porque a diferença de 1 segundo se torna menos significativa comparada ao tempo total de queda.
Passo 7
Portanto, a relação
começa maior que 1 quando
é pouco maior que 1 segundo e diminui ao longo do tempo, aproximando-se de 1 conforme o tempo passa e ambas as bolas aceleram igualmente devido à gravidade.
Resposta
A relação
diminui com o passar do tempo, começando acima de 1 e aproximando-se de 1 conforme ambos os objetos aceleram igualmente devido à gravidade.