Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que . Estamos falando da função totiente de Euler, que conta quantos números de 1 até são coprimos com . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois números serem coprimos e como a função totiente funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . A função totiente de Euler, , representa a quantidade de números naturais menores ou iguais a que são coprimos com . Dois números são coprimos se o único divisor comum deles é 1.
Passo 3
Agora, vamos observar que, no mínimo, o número 1 é sempre coprimo com qualquer , já que o único divisor comum é 1. Portanto, é pelo menos 1.
Passo 4
Por outro lado, o número não é coprimo consigo mesmo, porque divide e, portanto, têm pelo menos o divisor em comum. Assim, entre 1 e , o próprio não está incluso em .
Passo 5
Então, estamos contando os números de 1 até que são coprimos com . Portanto, o máximo que pode ser é , caso todos os números de 1 até sejam coprimos com .
Passo 6
Isso significa que a função totiente nunca excede , já que nunca está incluído na contagem de números coprimos.
Resposta
Portanto, mostramos que para todo número natural .