Seja ( um grupo e com e tal que . Prove que existe um único par de elementos tal que as condições abaixo são satisfeitas:
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que, dado um grupo e um elemento com ordem , onde e e são números que não têm nenhum divisor comum além de 1 (ou seja, ). Precisamos mostrar que existem exatamente dois elementos e em tal que:
i) A ordem de é e a ordem de é .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como a ordem de um elemento e propriedades de grupos finitos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento em , denotada por , é o menor número positivo tal que , onde é o elemento neutro do grupo.
No nosso caso, . Como e são coprimos (ou seja, ), sabemos por um resultado da teoria de grupos que podemos decompor em dois elementos com ordens e .
Passo 3
Vamos construir os elementos e . Sabendo que e , podemos usar o fato de que existe um único elemento em um grupo cyclico com ordem que é a potência adequada de .
Definimos:
Vamos verificar as ordens de e .
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a ordem de .
Sabemos que:
Como e , temos:
Portanto:
Então, como queríamos.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a ordem de .
Analogamente:
Novamente, com e :
Assim:
Então, , conforme a condição.
Passo 6
Agora, precisamos garantir que os elementos e são únicos com essas propriedades. Suponha que existam outros elementos e em tais que e .
Como , qualquer elemento com ordem deve ser uma potência específica de , e o mesmo vale para elementos com ordem . Portanto, e devem coincidir com e , respectivamente.
Dessa forma, os elementos e que construímos são únicos.
Resposta
Existe um único par de elementos definidos por e , com ordens e .