Seja ( G, *) um grupo e a in G com |a|=n e n=r cdot s tal que (r, s)=1. Prove que existe um único par de elementos b, c in G tal que as condições abaixo são satisfeitas:
i) |b|=r e|c|=s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que, dado um grupo e um elemento com ordem , onde e e são números que não têm nenhum divisor comum além de 1 (ou seja, ). Precisamos mostrar que existem exatamente dois elementos e em tal que:
i) A ordem de é e a ordem de é .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como a ordem de um elemento e propriedades de grupos finitos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a ordem de um elemento em um grupo. A ordem de um elemento em , denotada por , é o menor número positivo tal que , onde é o elemento neutro do grupo.
No nosso caso, . Como e são coprimos (ou seja, ), sabemos por um resultado da teoria de grupos que podemos decompor em dois elementos com ordens e .

Passo 3

Vamos construir os elementos b = a^s e c = a^r . Sabendo que e , podemos usar o fato de que existe um único elemento em um grupo cyclico com ordem que é a potência adequada de .
Definimos:
Vamos verificar as ordens de e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a ordem de |b| = |a|gcd(|a|, s) = ngcd(n, s) .
Sabemos que:
gcd(n, s) = s
Como |b| = r cdot ss = r e , temos:
Portanto:
Então, como queríamos.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a ordem de |c| = |a|gcd(|a|, r) = ngcd(n, r) .
Analogamente:
gcd(n, r) = r
Novamente, com |c| = r cdot sr = s e :
Assim:
Então, , conforme a condição.

Passo 6

Agora, precisamos garantir que os elementos e são únicos com essas propriedades. Suponha que existam outros elementos e em tais que e .
Como , qualquer elemento com ordem deve ser uma potência específica de , e o mesmo vale para elementos com ordem . Portanto, e devem coincidir com e , respectivamente.
Dessa forma, os elementos e que construímos são únicos.

Resposta

Existe um único par de elementos definidos por e , com ordens e .

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