Prove que o inverso de m-1 in(Zm ^*,) é m-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o inverso de m-1 no conjunto Zm^* é ele mesmo, ou seja, m-1. Isso está ligado ao estudo de números invertíveis em aritmética modular, onde Zm^* representa todos os números de 1 a m-1 que são coprimos com m. Para resolver isso, vamos usar propriedades de congruências e a definição de inverso em grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser inverso em Zm^*. Um elemento a tem um inverso b se, quando multiplicamos a por b, o resultado é congruente a 1 módulo m. Em fórmula:
a cdot b equiv 1 pmodm

Passo 3

No nosso caso, queremos mostrar que m-1 é o inverso de si mesmo. Ou seja, precisamos verificar se:
(m-1) cdot (m-1) equiv 1 pmodm

Passo 4

Vamos multiplicar (m-1) por (m-1):
(m-1) cdot (m-1) = m^2 - 2m + 1

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão módulo m. Sabemos que m^2 equiv 0 pmodm porque m divide m^2. Além disso, -2m equiv 0 pmodm pelo mesmo motivo. Então:
m^2 - 2m + 1 equiv 0 - 0 + 1 equiv 1 pmodm

Passo 6

Como vimos, (m-1) cdot (m-1) equiv 1 pmodm. Isso significa que m-1 multiplicado por ele mesmo dá 1 no módulo m, ou seja, m-1 é de fato o inverso de m-1 em Zm^*.

Resposta

O inverso de m-1 em Zm^* é m-1.

Exercícios relacionados

Sejam a, b in(G, *). Assuma que |a|=5 e a^3 * b=b * a^3. Prove que a * b=b * a.
Prove que (Zm,+) é grupo abeliano.
Seja ( G, *) um grupo e a in G com |a|=n e n=r cdot s tal que (r, s)=1. Prove que existe um único par de elementos b, c in G tal que as condições abaixo são satisfeitas:
i) |b|=r e|c|=s
Mostre que varphi(n) <= n-1.