Seja G um grupo cíclico de ordem n gerado por a. Prove que G tem varphi(n) geradores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um grupo cíclico de ordem , gerado por um elemento . Nosso objetivo é provar que tem exatamente geradores. Vamos precisar entender o que é um grupo cíclico, o que significa ser um gerador, e conhecer a função totiente de Euler, representada por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo cíclico é um grupo composto por todos os poderes (ou múltiplos) de um único elemento, chamado de gerador. No nosso caso, significa que todos os elementos de podem ser escritos como para algum inteiro .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um gerador de . Um elemento em é chamado de gerador se, a partir dele, conseguimos chegar a todos os elementos do grupo. Ou seja, . Para ser um gerador, é necessário que o menor inteiro positivo tal que (o elemento neutro) seja igual a , que é a ordem do grupo.

Passo 4

Aqui entra a função totiente de Euler, . Essa função conta quantos números são menores que e que são coprimos com (ou seja, cujo máximo divisor comum com é 1). Esses números são exatamente os expoentes que fazem com que seja um gerador de .

Passo 5

Vamos formalizar isso. Seja . Para ser gerador, a ordem de deve ser . A ordem de é . Para que seja igual a , precisamos que . Ou seja, deve ser coprimo com .

Passo 6

Agora, simplesmente contamos quantos valores de entre 1 e são coprimos com . Essa contagem é exatamente o que a função faz. Portanto, há geradores em .

Resposta

O grupo possui exatamente geradores.

Exercícios relacionados

Mostre que varphi(n) <= n-1.
Seja ( G, *) um grupo e a in G com |a|=n e n=r cdot s tal que (r, s)=1. Prove que existe um único par de elementos b, c in G tal que as condições abaixo são satisfeitas:
i) |b|=r e|c|=s
Enuncie o Teorema de Euler e dê aplicações.
Sejam a, b in(G, *). Mostre que:
а) (a^prime)^prime=a