Seja G um grupo cíclico de ordem n gerado por a. Prove que G tem
geradores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um grupo cíclico
de ordem
, gerado por um elemento
. Nosso objetivo é provar que
tem exatamente
geradores. Vamos precisar entender o que é um grupo cíclico, o que significa ser um gerador, e conhecer a função totiente de Euler, representada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo cíclico é um grupo composto por todos os poderes (ou múltiplos) de um único elemento, chamado de gerador. No nosso caso,
significa que todos os elementos de
podem ser escritos como
para algum inteiro
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um gerador de
. Um elemento
em
é chamado de gerador se, a partir dele, conseguimos chegar a todos os elementos do grupo. Ou seja,
. Para
ser um gerador, é necessário que o menor inteiro positivo
tal que
(o elemento neutro) seja igual a
, que é a ordem do grupo.
Passo 4
Aqui entra a função totiente de Euler,
. Essa função conta quantos números são menores que
e que são coprimos com
(ou seja, cujo máximo divisor comum com
é 1). Esses números são exatamente os expoentes
que fazem com que
seja um gerador de
.
Passo 5
Vamos formalizar isso. Seja
. Para
ser gerador, a ordem de
deve ser
. A ordem de
é
. Para que seja igual a
, precisamos que
. Ou seja,
deve ser coprimo com
.
Passo 6
Agora, simplesmente contamos quantos valores de
entre 1 e
são coprimos com
. Essa contagem é exatamente o que a função
faz. Portanto, há
geradores em
.
Resposta
O grupo
possui exatamente
geradores.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Seja (
um grupo e
com
e
tal que
. Prove que existe um único par de elementos
tal que as condições abaixo são satisfeitas:
i)
i)
Enuncie o Teorema de Euler e dê aplicações.
Sejam
. Mostre que:
а)
а)