Mostre que a velocidade de uma partícula ultrarelativística de massa de repouso m0 e energia total E difere da velocidade da luz por
De

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula ultrarelativística, ou seja, com energia total E muito maior que sua massa de repouso m0. Queremos mostrar que a diferença entre a velocidade da luz c e a velocidade da partícula v é dada por:
De
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da relatividade restrita que relacionam energia, massa e velocidade.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a energia total E de uma partícula na relatividade é dada por:
E = gamma m0 c^2
Aqui, gamma é o fator de Lorentz, que depende da velocidade v da partícula:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2

Passo 3

Queremos encontrar uma expressão para v. Para isso, vamos isolar gamma na primeira equação:
gamma = Em0 c^2

Passo 4

Agora, substituímos esse valor de gamma na expressão do fator de Lorentz:
1raiz1 - v^2c^2 = Em0 c^2

Passo 5

Vamos inverter ambos os lados da equação para facilitar:
raiz1 - v^2c^2 = m0 c^2E

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 - v^2c^2 = (m0 c^2E)^2

Passo 7

Isolamos v^2c^2 na equação:
v^2c^2 = 1 - (m0 c^2E)^2

Passo 8

Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v:
v = c raiz1 - (m0 c^2E)^2

Passo 9

Como a partícula é ultrarelativística, m0 c^2E é muito pequeno. Podemos usar a aproximação:
raiz1 - x approx 1 - x2 para x ll 1
Aplicando isso:
v approx c (1 - 12(m0 c^2E)^2)

Passo 10

Finalmente, a diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é:
De

Resposta

A diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é
De

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