Mostre que a velocidade de uma partícula ultrarelativística de massa de repouso
e energia total
difere da velocidade da luz por
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula ultrarelativística, ou seja, com energia total
muito maior que sua massa de repouso
. Queremos mostrar que a diferença entre a velocidade da luz
e a velocidade da partícula
é dada por:
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da relatividade restrita que relacionam energia, massa e velocidade.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a energia total
de uma partícula na relatividade é dada por:
Aqui,
é o fator de Lorentz, que depende da velocidade
da partícula:
Passo 3
Queremos encontrar uma expressão para
. Para isso, vamos isolar
na primeira equação:
Passo 4
Agora, substituímos esse valor de
na expressão do fator de Lorentz:
Passo 5
Vamos inverter ambos os lados da equação para facilitar:
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Isolamos
na equação:
Passo 8
Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Passo 9
Como a partícula é ultrarelativística,
é muito pequeno. Podemos usar a aproximação:
Aplicando isso:
Passo 10
Finalmente, a diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é:
Resposta
A diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é