Mostre que a velocidade de uma partícula ultrarelativística de massa de repouso e energia total difere da velocidade da luz por

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula ultrarelativística, ou seja, com energia total muito maior que sua massa de repouso . Queremos mostrar que a diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é dada por:
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da relatividade restrita que relacionam energia, massa e velocidade.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a energia total de uma partícula na relatividade é dada por:
Aqui, é o fator de Lorentz, que depende da velocidade da partícula:

Passo 3

Queremos encontrar uma expressão para . Para isso, vamos isolar na primeira equação:

Passo 4

Agora, substituímos esse valor de na expressão do fator de Lorentz:

Passo 5

Vamos inverter ambos os lados da equação para facilitar:

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 7

Isolamos na equação:

Passo 8

Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Passo 9

Como a partícula é ultrarelativística, é muito pequeno. Podemos usar a aproximação:
Aplicando isso:

Passo 10

Finalmente, a diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é:

Resposta

A diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é

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