Mostre que a velocidade de uma partícula ultrarelativística de massa de repouso
e energia total
difere da velocidade da luz por
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula ultrarelativística, ou seja, com energia total
muito maior que sua massa de repouso
. Queremos mostrar que a diferença entre a velocidade da luz
e a velocidade da partícula
é dada por:
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas da relatividade restrita que relacionam energia, massa e velocidade.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a energia total
de uma partícula na relatividade é dada por:
Aqui,
é o fator de Lorentz, que depende da velocidade
da partícula:
Passo 3
Queremos encontrar uma expressão para
. Para isso, vamos isolar
na primeira equação:
Passo 4
Agora, substituímos esse valor de
na expressão do fator de Lorentz:
Passo 5
Vamos inverter ambos os lados da equação para facilitar:
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Isolamos
na equação:
Passo 8
Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Passo 9
Como a partícula é ultrarelativística,
é muito pequeno. Podemos usar a aproximação:
Aplicando isso:
Passo 10
Finalmente, a diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é:
Resposta
A diferença entre a velocidade da luz e a velocidade da partícula é
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Analise as afirmações abaixo.
i. O efeito fotoelétrico ocorre para todos os valores de comprimentos de onda da luz incidente abaixo de um determinado valor máximo, que chamamos de comprimento de onda de corte.
ii. O ser humano não desenvolveu ainda tecnologia suficiente para medir simultaneamente com precisão o momento e a posição de uma partícula.
iii. A quantização de Bohr resolveu o problema da iv. A quantização de Planck diz que v. Quando o número quântico que descreve um sistema físico (como por exemplo o das energias do átomo de Hidrogênio) tende a números muito grandes, o resultado clássico deve ser obtido.
i. O efeito fotoelétrico ocorre para todos os valores de comprimentos de onda da luz incidente abaixo de um determinado valor máximo, que chamamos de comprimento de onda de corte.
ii. O ser humano não desenvolveu ainda tecnologia suficiente para medir simultaneamente com precisão o momento e a posição de uma partícula.
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