A parte do cilindro
que está acima do retângulo com vértices,
e
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro com a equação
. Isso significa que a seção transversal do cilindro em qualquer valor de
é um círculo com raio 3 (já que
). O exercício também fala sobre um retângulo, que tem os vértices em
,
,
e
. Então, vamos precisar analise da parte do cilindro que está acima desse retângulo, ou seja, onde o cilindro está “cortando” essa área retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o retângulo. Ele se estende no eixo
de 0 a 2 e no eixo
de 0 a 4. Podemos imaginar que estamos olhando para esse retângulo na “base” do cilindro. Como o cilindro é vertical (seu eixo é o eixo
), o que significa que para qualquer valor fixo de
, a seção do cilindro será um círculo de raio 3.
Passo 3
O próximo passo é identificar a parte do cilindro acima do retângulo. O círculo formado pela seção do cilindro em um plano de
é descrito por
. Agora, para a parte acima do retângulo, nosso padrão é que os valores de
variam de 0 até 4 e os valores de
variam de 0 até 2, mas precisamos garantir que eles ainda satisfaçam a condição do cilindro.
A condição que precisamos levar em conta é a que garante que
e
ainda estão dentro do círculo:
. Assim, vamos analisar os limites:
- Para
: , que dá (mas estamos limitados a 2 aqui devido ao retângulo). - Para
: , que não tem solução, então limitamos nosso a 3 no máximo.
Portanto,
varia de 0 a 3, enquanto que
varia de 0 a 2.
Resposta
A parte do cilindro acima do retângulo se estende até z=2, então a resposta é a região no cilindro correspondente a
e
.