A parte do cilindro y^2+z^2=9 que está acima do retângulo com vértices, (0,0),(4,0),(0,2) e (4,2)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro com a equação y^2+z^2=9. Isso significa que a seção transversal do cilindro em qualquer valor de x é um círculo com raio 3 (já que raiz9 = 3). O exercício também fala sobre um retângulo, que tem os vértices em (0,0), (4,0), (0,2) e (4,2). Então, vamos precisar analise da parte do cilindro que está acima desse retângulo, ou seja, onde o cilindro está “cortando” essa área retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o retângulo. Ele se estende no eixo y de 0 a 2 e no eixo x de 0 a 4. Podemos imaginar que estamos olhando para esse retângulo na “base” do cilindro. Como o cilindro é vertical (seu eixo é o eixo x), o que significa que para qualquer valor fixo de x, a seção do cilindro será um círculo de raio 3.

Passo 3

O próximo passo é identificar a parte do cilindro acima do retângulo. O círculo formado pela seção do cilindro em um plano de x=k é descrito por y^2+z^2=9. Agora, para a parte acima do retângulo, nosso padrão é que os valores de y variam de 0 até 4 e os valores de z variam de 0 até 2, mas precisamos garantir que eles ainda satisfaçam a condição do cilindro.
A condição que precisamos levar em conta é a que garante que y e z ainda estão dentro do círculo: y^2+z^2 <= 9. Assim, vamos analisar os limites:
  • Para y = 0: z^2 <= 9, que dá z <= 3 (mas estamos limitados a 2 aqui devido ao retângulo).
  • Para y = 4: z^2 + 16 <= 9, que não tem solução, então limitamos nosso y a 3 no máximo.
Portanto, y varia de 0 a 3, enquanto que z varia de 0 a 2.

Resposta

A parte do cilindro acima do retângulo se estende até z=2, então a resposta é a região no cilindro correspondente a 0 <= y <= 3 e 0 <= z <= 2.

Exercícios relacionados