Mostre que se
.
, então
é o elemento neutro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre grupos na matemática. O enunciado diz que se temos um elemento
pertencente a um grupo
e se
, então
é o elemento neutro do grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo e qual é a definição do elemento neutro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo
é um conjunto com uma operação binária
que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. O elemento neutro é aquele que, quando usado na operação com qualquer elemento do grupo, não altera esse elemento. Ou seja, existe um elemento
em
tal que para todo
em
,
.
Passo 3
Agora, sabemos que
. Vamos usar essa informação para descobrir se
é realmente o elemento neutro
. Sabemos que o elemento neutro satisfaz
para qualquer
em
, inclusive para
. Então, se
, isso está alinhado com a propriedade do elemento neutro.
Passo 4
Vamos provar que
deve ser o elemento neutro. Sabemos que todo grupo tem um único elemento neutro. Suponha que exista outro elemento neutro
. Então, usando a propriedade de neutro:
Mas também temos:
E já que
, podemos substituir:
Isso confirma que
, ou seja,
é o único elemento que satisfaz essa condição.
Resposta
Portanto,
é o elemento neutro do grupo
.