Mostre que se x in(G,. ) e x cdot x=x, então x é o elemento neutro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre grupos na matemática. O enunciado diz que se temos um elemento pertencente a um grupo e se , então é o elemento neutro do grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo e qual é a definição do elemento neutro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade. O elemento neutro é aquele que, quando usado na operação com qualquer elemento do grupo, não altera esse elemento. Ou seja, existe um elemento em tal que para todo em , .

Passo 3

Agora, sabemos que . Vamos usar essa informação para descobrir se é realmente o elemento neutro . Sabemos que o elemento neutro satisfaz para qualquer em , inclusive para . Então, se , isso está alinhado com a propriedade do elemento neutro.

Passo 4

Vamos provar que x = e cdot x deve ser o elemento neutro. Sabemos que todo grupo tem um único elemento neutro. Suponha que exista outro elemento neutro x = x cdot e . Então, usando a propriedade de neutro:
x = e cdot x = x
Mas também temos:
E já que , podemos substituir:
Isso confirma que , ou seja, é o único elemento que satisfaz essa condição.

Resposta

Portanto, é o elemento neutro do grupo .

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