Quais dos seguintes são combinações lineares de
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer saber se a matriz zero
é uma combinação linear das matrizes
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com combinações lineares de matrizes, que é um conceito de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelas matrizes
,
e
e somados, resultem na matriz zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de matrizes
,
e
é uma expressão do tipo:
onde
,
e
são números reais (os coeficientes).
Passo 3
Queremos que essa combinação seja igual à matriz zero:
Passo 4
Vamos substituir as matrizes
,
e
na equação:
Passo 5
Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes:
Passo 6
Agora, somamos as matrizes:
Passo 7
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema:
Da equação 2:
Substituindo
na equação 1:
Substituindo
e
na equação 3:
Com
:
Resposta
Sim, a matriz zero é uma combinação linear de
,
e
com
,
e
.