Quais dos seguintes são combinações lineares de
A=[rr 4 & 0 -2 & -2 ], B=[rr 1 & -1 2 & 3 ], C=[ll 0 & 2 1 & 4 ] ?
(b) [ll0 & 0 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer saber se a matriz zero
[ll 0 & 0 0 & 0 ]
é uma combinação linear das matrizes , e . Aqui, estamos trabalhando com combinações lineares de matrizes, que é um conceito de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelas matrizes , e e somados, resultem na matriz zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de matrizes xA + yB + zC , e é uma expressão do tipo:
onde , e são números reais (os coeficientes).

Passo 3

Queremos que essa combinação seja igual à matriz zero:
xA + yB + zC = [ll 0 & 0 0 & 0 ]

Passo 4

Vamos substituir as matrizes x[rr 4 & 0 -2 & -2 ] + y[rr 1 & -1 2 & 3 ] + z[ll 0 & 2 1 & 4 ] = [ll 0 & 0 0 & 0 ] , e na equação:

Passo 5

Vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos coeficientes:
[rr 4x & 0 -2x & -2x ] + [rr y & -y 2y & 3y ] + [ll 0 & 2z z & 4z ] = [ll 0 & 0 0 & 0 ]

Passo 6

Agora, somamos as matrizes:
[rr 4x + y + 0 & 0 - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z ] = [ll 0 & 0 0 & 0 ]

Passo 7

Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema:
Da equação 2:
-y + 2z = 0 Rightarrow y = 2z
Substituindo 4x + 2z = 0 Rightarrow 4x = -2z Rightarrow x = -z2 na equação 1:
-2(-z2) + 2(2z) + z = 0 z + 4z + z = 0 6z = 0 Rightarrow z = 0
Substituindo y = 2(0) = 0 x = -02 = 0 e na equação 3:
Com :

Resposta

Sim, a matriz zero é uma combinação linear de , e com , e .

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