Prove que o conjunto G=z in C /|z|=1 é um grupo abeliano com a multiplicação dos números complexos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é provar que o conjunto forma um grupo abeliano quando usamos a multiplicação dos números complexos. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra, mais especificamente de Teoria de Grupos. Vamos precisar verificar se satisfaz os axiomas de um grupo e, além disso, se essa estrutura é comutativa, ou seja, se a ordem da multiplicação não altera o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto que, junto com uma operação binária, satisfaz quatro propriedades fundamentais: fechamento, associatividade, existência de elemento identidade e existência de inversos para todo elemento. Além disso, se o grupo for abeliano, ele também satisfaz a propriedade comutativa, onde a ordem dos elementos não altera o resultado da operação.

Passo 3

Fechamento: Precisamos mostrar que se pegarmos dois números complexos e em , então o produto também está em .
Dado que e , sabemos que o produto das normas é . Portanto, também possui norma 1, ou seja, . Assim, é fechado sob multiplicação.

Passo 4

Associatividade: A multiplicação de números complexos é associativa, ou seja, para quaisquer , temos . Como a multiplicação já é conhecida por ser associativa no conjunto dos números complexos , essa propriedade é automaticamente satisfeita em .

Passo 5

Elemento Identidade: Precisamos identificar um elemento em que, quando multiplicado por qualquer elemento , retorna mesmo. No conjunto dos números complexos, o elemento identidade para a multiplicação é , pois para todo .
Verificando se está em , calculamos , então sim, . Assim, possui um elemento identidade.

Passo 6

Existência de Inversos: Para cada elemento , devemos encontrar um inverso que satisfaça .
Sabemos que para qualquer número complexo , seu inverso multiplicativo é . Como para , temos . Vamos verificar se :
Calculamos , então . Portanto, cada elemento de possui um inverso em .

Passo 7

Comutatividade: Por fim, para ser abeliano, a multiplicação deve ser comutativa, ou seja, para quaisquer , .
A multiplicação de números complexos é comutativa na matemática, então para quaisquer , e consequentemente, para quaisquer .

Resposta

Portanto, o conjunto satisfaz todas as propriedades de um grupo abeliano sob a operação de multiplicação dos números complexos.

Exercícios relacionados