Quais dos seguintes conjuntos de vetores em são linearmente dependentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou quais conjuntos de vetores em são linearmente dependentes. Isso tá na área de Álgebra Linear, especificamente no estudo de dependência linear. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como verificar isso usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Isso acontece quando pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, se tivermos vetores , eles são linearmente dependentes se existir escalares , , , não todos zero, tais que:
Passo 3
Para verificar a dependência linear, vamos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes; se for diferente de zero, são linearmente independentes. A fórmula do determinante para uma matriz é:
onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso aos conjuntos de vetores que você tem. Por exemplo, suponha que temos o seguinte conjunto de vetores em :
Como o determinante é zero, os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes.
Resposta
Os conjuntos de vetores que resultam em determinante igual a zero são linearmente dependentes. No exemplo dado, os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes porque o determinante da matriz formada por eles é zero.