Seja X: número de caras e Y: número de coroas quando sāo lançadas 2 moedas. Calcular média e variância de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é calcular a média e a variância da variável
, onde
representa o número de caras e
o número de coroas quando lançamos 2 moedas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição de probabilidade, expectativa (média) e variância de variáveis aleatórias. Vou explicar cada passo para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações quando lançamos 2 moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K), então temos:
- CC (2 caras)
- CK (1 cara, 1 coroa)
- KC (1 cara, 1 coroa)
- KK (2 coroas)
Passo 3
Agora, vamos determinar os valores de
e
para cada resultado:
- CC:
caras, coroas - CK:
cara, coroa - KC:
cara, coroa - KK:
caras, coroas
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades de cada valor de
:
-
(apenas KK) -
(CK e KC) -
(apenas CC)
Passo 5
Agora, vamos calcular a média de
. A média de uma variável aleatória linear como essa pode ser encontrada usando:
Primeiro, encontramos
:
Como
(porque sempre temos 2 moedas), então:
Assim,
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância de
. A variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias é dada por:
Sabemos que
, então a covariância
.
Então,
Como
, temos:
Agora, vamos calcular
:
Primeiro, encontramos
:
Sabemos que
, então:
Portanto,
Resposta
A média de
é
e a variância de
é
.