Seja X: número de caras e Y: número de coroas quando sāo lançadas 2 moedas. Calcular média e variância de Z=2 X+Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é calcular a média e a variância da variável Z = 2X + Y, onde X representa o número de caras e Y o número de coroas quando lançamos 2 moedas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição de probabilidade, expectativa (média) e variância de variáveis aleatórias. Vou explicar cada passo para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações quando lançamos 2 moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K), então temos:
  • CC (2 caras)
  • CK (1 cara, 1 coroa)
  • KC (1 cara, 1 coroa)
  • KK (2 coroas)

Passo 3

Agora, vamos determinar os valores de X e Y para cada resultado:
  • CC: X = 2 caras, Y = 0 coroas
  • CK: X = 1 cara, Y = 1 coroa
  • KC: X = 1 cara, Y = 1 coroa
  • KK: X = 0 caras, Y = 2 coroas

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades de cada valor de X:
  • P(X=0) = 1/4 (apenas KK)
  • P(X=1) = 2/4 = 1/2 (CK e KC)
  • P(X=2) = 1/4 (apenas CC)

Passo 5

Agora, vamos calcular a média de Z = 2X + Y. A média de uma variável aleatória linear como essa pode ser encontrada usando:
E(Z) = 2E(X) + E(Y)
Primeiro, encontramos E(X):
E(X) = (0)(1/4) + (1)(1/2) + (2)(1/4) = 0 + 1/2 + 1/2 = 1
Como Y = 2 - X (porque sempre temos 2 moedas), então:
E(Y) = 2 - E(X) = 2 - 1 = 1
Assim,
E(Z) = 2(1) + 1 = 3

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância de Z. A variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias é dada por:
Var(Z) = 2^2 Var(X) + Var(Y) + 2 cdot 2 cdot Cov(X,Y)
Sabemos que Y = 2 - X, então a covariância Cov(X,Y) = Cov(X, 2 - X) = -Var(X).
Então,
Var(Z) = 4 Var(X) + Var(Y) - 4 Var(X)
Como Var(Y) = Var(X), temos:
Var(Z) = 4 Var(X) + Var(X) - 4 Var(X) = Var(X)
Agora, vamos calcular Var(X):
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, encontramos E(X^2):
E(X^2) = (0^2)(1/4) + (1^2)(1/2) + (2^2)(1/4) = 0 + 1/2 + 1 = 3/2
Sabemos que E(X) = 1, então:
Var(X) = 32 - (1)^2 = 32 - 1 = 12
Portanto,
Var(Z) = 12

Resposta

A média de Z é 3 e a variância de Z é 12.

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