Mostre que
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a expressão diferencial
não é exata e, depois, encontrar um fator integrante que torne essa equação exata. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e integrar fatores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 5
Agora, vamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
. Para isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então:
Resposta
O fator integrante que torna a equação exata é
.
Exercícios relacionados
Dado que o fator integrante
da equação
é uma função apenas de
, mostre que
Resolva a equação não homogênea
via o método de coeficientes indeterminados.
Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
onde
e
.
Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
onde
.