Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial, que é:
e
O conteúdo que vamos usar aqui são as Transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais convertendo-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada na derivada e como lidar com integrais no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de
.
Aplicando na equação:
Isso fica:
Passo 3
Como sabemos que
, a equação fica:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, vamos resolver a transformada do lado direito. Temos uma integral convolucional:
A transformada de Laplace de uma convolução
é simplesmente
. Aqui,
e
.
Então,
Sabemos que:
e
Portanto,
Passo 5
Voltando à nossa equação principal:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de
. Vamos simplificar
usando frações parciais.
Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 7
Para encontrar os coeficientes, podemos escolher valores específicos de
que simplifiquem a equação:
- Quando
:
Então,
- Quando
:
Simplificando:
Então,
- Para
:
Vamos usar outro valor para encontrar mais equações, mas aqui fica mais fácil comparar os coeficientes.
Expandindo o lado direito:
Expandindo cada termo:
Juntando tudo:
Comparando coeficientes com o lado esquerdo (que é 1, sem termos de
):
-
-
-
- Termo constante:
Já sabemos que
e
. Substituindo na primeira equação:
Na segunda equação:
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:
Podemos simplificar:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Então,
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
onde
e
.
Mostre que
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.
Mostre que
onde
.
Calcule a inversa da transformada de Laplace de
. (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):