Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
y^prime+y=integral0^t(t-tau) cos tau d tau
onde y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial, que é:
y' + y = integral0^t(t-tau) cos tau , dtau
e
y(0) = 0
O conteúdo que vamos usar aqui são as Transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais convertendo-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada na derivada e como lidar com integrais no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de Laplace de Ly' + Ly = Lintegral0^t(t-tau) cos tau , dtau é sY(s) - y(0) + Y(s) = Lintegral0^t(t-tau) cos tau , dtau , onde é a transformada de .
Aplicando na equação:
Isso fica:

Passo 3

Como sabemos que sY(s) + Y(s) = Lintegral0^t(t-tau) cos tau , dtau , a equação fica:
Y(s)(s + 1) = Lintegral0^t(t-tau) cos tau , dtau
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora, vamos resolver a transformada do lado direito. Temos uma integral convolucional:
integral0^t(t-tau) cos tau , dtau
A transformada de Laplace de uma convolução Lintegral0^t(t-tau) cos tau , dtau = Lt cdot Lcos t é simplesmente Lt = 1s^2 . Aqui, Lcos t = ss^2 + 1 e Lintegral0^t(t-tau) cos tau , dtau = 1s^2 cdot ss^2 + 1 = 1s(s^2 + 1) .
Então,
Sabemos que:
e
Portanto,

Passo 5

Voltando à nossa equação principal:
Y(s)(s + 1) = 1s(s^2 + 1)
Agora, vamos resolver para Y(s) = 1s(s^2 + 1)(s + 1) :

Passo 6

Para encontrar 1s(s^2 + 1)(s + 1) = As + Bs + Cs^2 + 1 + Ds + 1 , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de 1 = A(s^2 + 1)(s + 1) + (Bs + C)s(s + 1) + D s(s^2 + 1) . Vamos simplificar usando frações parciais.
Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, vamos encontrar os valores de , , e .

Passo 7

Para encontrar os coeficientes, podemos escolher valores específicos de 1 = A(0 + 1)(0 + 1) + (0 + C)(0)(0 + 1) + D cdot 0 cdot (0 + 1) que simplifiquem a equação:
  1. Quando 1 = A(1)(1) Rightarrow A = 1 :
1 = A((-1)^2 + 1)(-1 + 1) + (B(-1) + C)(-1)(-1 + 1) + D (-1)( (-1)^2 + 1 )
Então,
1 = A(1 + 1)(0) + ( -B + C )( -1 )(0) + D(-1)(1 + 1)
  1. Quando 1 = 0 + 0 + D(-1)(2) Rightarrow -2D = 1 Rightarrow D = -12 :
1 = A(s^2 + 1)(s + 1) + (Bs + C)s(s + 1) + D s(s^2 + 1)
Simplificando:
1 = (A + B + D)s^3 + (A + B + C)s^2 + (A + C + D)s + A
Então,
1 + B - 12 = 0 Rightarrow B = -12
  1. Para 1 - 12 + C = 0 Rightarrow C = -12 :
Vamos usar outro valor para encontrar mais equações, mas aqui fica mais fácil comparar os coeficientes.
Expandindo o lado direito:
Expandindo cada termo:
Juntando tudo:
Comparando coeficientes com o lado esquerdo (que é 1, sem termos de ):
  • Termo constante:
Já sabemos que e . Substituindo na primeira equação:
Na segunda equação:

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:
Y(s) = 1s + -12s - 12s^2 + 1 + -12s + 1
Podemos simplificar:
Y(s) = 1s - 12 cdot s + 1s^2 + 1 - 12 cdot 1s + 1

Passo 9

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
  1. y(t) = 1 - 12(cos t + sin t) - 12 e^-t
Então,

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 1 - 12 cos t - 12 sin t - 12 e^-t

Exercícios relacionados

Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
y'' + 2y' + 5y = 4cos(t)delta(t - 2pi)
onde y(0) = 1 e y'(0) = 0.
Mostre que
(x+y) dx + (x ln x) dy = 0
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.
Mostre que L{t x''} = -2 s X(s) - s^2 X'(s) + x(0) onde L{x} = X(s).
Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s). (Experimente usar duas vezes a propriedade da transformada da integral):
F(s) = 1 / (s^2 * (s + 1)^2)