Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação usando Transformadas de Laplace. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com termos como a função delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
E as condições iniciais são:
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde
é a transformada de
.
Passo 4
Aplicando a transformada na equação diferencial, temos:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 5
Sabemos que
, então:
Como
:
Passo 6
Substituindo as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos agrupar os termos com
:
Isolando
:
Passo 8
Vamos decompor a fração para facilitar a inversão da transformada de Laplace. Primeiro, observamos que o denominador
pode ser reescrito completando o quadrado:
Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente.
Para o primeiro termo:
Sabemos que:
e
Aplicando isso:
Então, o primeiro termo na solução é:
Passo 10
Para o segundo termo
, usamos a propriedade de atraso na transformada de Laplace:
Onde
é a função de Heaviside. Então:
Passo 11
Juntando tudo, a solução geral
é a soma das duas partes que encontramos:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Mostre que
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.
Dado que o fator integrante
da equação
é uma função apenas de
, mostre que
Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
onde
.
Mostre que
onde
.