Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
y'' + 2y' + 5y = 4cos(t)delta(t - 2pi)
onde y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação usando Transformadas de Laplace. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e como lidar com termos como a função delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
E as condições iniciais são:

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de .

Passo 4

Aplicando a transformada na equação diferencial, temos:
Substituindo as transformadas das derivadas:

Passo 5

Sabemos que , então:
Como :

Passo 6

Substituindo as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 7

Vamos agrupar os termos com :
Isolando :

Passo 8

Vamos decompor a fração para facilitar a inversão da transformada de Laplace. Primeiro, observamos que o denominador pode ser reescrito completando o quadrado:
Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente.
Para o primeiro termo:
Sabemos que:
e
Aplicando isso:
Então, o primeiro termo na solução é:

Passo 10

Para o segundo termo , usamos a propriedade de atraso na transformada de Laplace:
Onde é a função de Heaviside. Então:

Passo 11

Juntando tudo, a solução geral é a soma das duas partes que encontramos:

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Mostre que
(x+y) dx + (x ln x) dy = 0
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.
Dado que o fator integrante mu(x) da equação
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
é uma função apenas de x, mostre que
mu(y)=exp integral My-NxN d x
Resolva por transformadas de Laplace o seguinte PVI:
y^prime+y=integral0^t(t-tau) cos tau d tau
onde y(0)=0.
Mostre que L{t x''} = -2 s X(s) - s^2 X'(s) + x(0) onde L{x} = X(s).