- Mostre que
é soluçãode
mas não o é em qualquer outro intervalo maior contendo
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos mostrar que a função
é uma solução da equação diferencial
no intervalo
. Além disso, devemos demonstrar que essa solução não é válida em nenhum outro intervalo maior que contenha
. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de
e verificar a veracidade da equação diferencial no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usamos a regra da derivada para funções racionais:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na equação diferencial
:
Passo 4
Simplificamos a expressão:
Isso confirma que a função
satisfaz a equação diferencial no intervalo onde está definida.
Passo 5
Agora, vamos analisar o intervalo de validade da solução. A função
tem o denominador
, que se anula em
e
. Isso significa que a função não está definida nesses pontos, portanto, o intervalo onde
é válida é
.
Passo 6
Para intervalos maiores que
, como por exemplo
, a função
não está definida em
e
. Assim, em qualquer intervalo que contenha esses pontos, a função não será uma solução válida da equação diferencial, já que não está definida em toda a extensão do intervalo.
Resposta
Portanto,
é uma solução da equação diferencial
no intervalo
, mas não é válida em nenhum intervalo maior que contenha
.
Exercícios relacionados
Use o teorema da convolução para encontrar
.
.
(2) Verifique se
e
são soluçôes da equaçâo:
©
©
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
.
(9) Determine
e
de modo que
satisfaça as condicooes iniciais
.