1. Mostre que y = 1 / (x^2 - 1) é soluçãode y' + 2 x y^2 = 0 em I = (-1, 1) mas não o é em qualquer outro intervalo maior contendo I.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos mostrar que a função é uma solução da equação diferencial no intervalo . Além disso, devemos demonstrar que essa solução não é válida em nenhum outro intervalo maior que contenha . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e verificar a veracidade da equação diferencial no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Usamos a regra da derivada para funções racionais:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial :

Passo 4

Simplificamos a expressão:
Isso confirma que a função satisfaz a equação diferencial no intervalo onde está definida.

Passo 5

Agora, vamos analisar o intervalo de validade da solução. A função tem o denominador , que se anula em e . Isso significa que a função não está definida nesses pontos, portanto, o intervalo onde é válida é .

Passo 6

Para intervalos maiores que , como por exemplo , a função não está definida em e . Assim, em qualquer intervalo que contenha esses pontos, a função não será uma solução válida da equação diferencial, já que não está definida em toda a extensão do intervalo.

Resposta

Portanto, é uma solução da equação diferencial no intervalo , mas não é válida em nenhum intervalo maior que contenha .

Exercícios relacionados

Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}(1/((s+1)(s-2))).
(2) Verifique se y1(x) e y2(x) são soluçôes da equaçâo:
© y'' - (y')^3 + x y' = y, y1(x) = x - 1, y2(x) = ln(x)
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
y' + 4y = e^(-4t), y(0) = 0.
(9) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 e^(2 x) + c2 e^(x) + 2 sen(x) satisfaça as condicooes iniciais y(0)=0, y'(0)=1.