(9) Determine
e
de modo que
satisfaça as condicooes iniciais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa encontrar os valores de
e
que fazem essa função satisfazer as condições iniciais
e
. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais, onde a gente tem uma solução geral com constantes que precisamos determinar usando condições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a condição inicial
. Isso significa que quando
, o valor de
deve ser zero. Vamos substituir
na função:
Simplificando as exponenciais e o seno:
Como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda condição inicial
. Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Derivando cada termo:
Agora, substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na Equação 2:
Agora, substituindo
na expressão para
:
Resposta
Os valores das constantes são
e
.
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
.
- Mostre que
é soluçãode mas não o é em qualquer outro intervalo maior contendo .
Calcule
usando a definição:
Calcule que é sent,
e 0,
.
Calcule
(8) Verifique se o Teorema de Picard garante a unicidade de solução para a equação diferencial
, passando pelo ponto:
(a)
(a)