Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
y' + 4y = e^(-4t), y(0) = 0.

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial y' + 4y = e^{-4t} com a condição inicial y(0) = 0. Vamos resolver isso usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e nas funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de y'(t) é sY(s) - y(0), onde Y(s) é a transformada de y(t).

Passo 3

Aplicando a transformada:
Substituindo:

Passo 4

Como y(0) = 0, a equação fica:
Fatorando Y(s):

Passo 5

Agora, isolamos Y(s) dividindo ambos os lados por (s + 4):

Passo 6

Para encontrar y(t), aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
Onde a = 4, então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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