Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial
y' + 4y = e^{-4t}
com a condição inicial y(0) = 0
. Vamos resolver isso usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e nas funções exponenciais.Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de
y'(t)
é sY(s) - y(0)
, onde Y(s)
é a transformada de y(t)
.Passo 3
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Passo 4
Como
y(0) = 0
, a equação fica:Fatorando
Y(s)
:Passo 5
Agora, isolamos
Y(s)
dividindo ambos os lados por (s + 4)
:Passo 6
Para encontrar
y(t)
, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:Onde
a = 4
, então:Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
- Mostre que
é soluçãode mas não o é em qualquer outro intervalo maior contendo .
Use o teorema da convolução para encontrar
.
.
(9) Determine
e
de modo que
satisfaça as condicooes iniciais
.
Calcule
usando a definição:
Calcule que é sent,
e 0,
.
Calcule