Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o grupo dos inteiros com a adição, denotado por
, é gerado pelo elemento
, ou seja,
. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente de Teoria dos Grupos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um grupo ser gerado por um elemento e como aplicar isso aos inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um grupo gerado por um elemento. Em termos simples, quando dizemos que um grupo
é gerado por um elemento
, representamos isso como
. Isso significa que todo elemento de
pode ser obtido através de combinações (no caso da adição, somas e subtrações) de múltiplos de
. No nosso caso, queremos mostrar que todos os inteiros podem ser gerados a partir de
.
Passo 3
Vamos ver o que a gente consegue gerar com
. Se começarmos a adicionar
a si mesmo, temos:
Mas e os números positivos? Como chegamos a eles usando
?
Passo 4
Uma coisa importante na Teoria dos Grupos é que, se um elemento gera um grupo em relação à operação, podemos também usar o inverso desse elemento para gerar os elementos “na direção oposta”. No caso da adição, o inverso de
é
, porque:
Então, se podemos gerar
a partir de
, podemos também gerar todos os inteiros positivos.
Passo 5
Vamos formalizar isso. Para qualquer inteiro
, positivo ou negativo, podemos expressá-lo como uma soma de
ou de
:
- Se
for positivo, ( vezes). - Se
for negativo, ( vezes). - E claro,
é o elemento neutro, que já está no grupo.
Passo 6
Isso mostra que qualquer inteiro pode ser alcançado usando apenas somas e subtrações de
. Portanto, todos os elementos de
estão na geração de
, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que o grupo dos inteiros com adição,
, é de fato gerado por
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
8
Mostre que os polinômios e
formam uma base para o espaço
. Em seguida, escreva o polinômio
como combinação linear desses elementos.
Mostre que os polinômios
(b) Mostre que o conjunto de retas em
com coeficiente angular 1 é um subgrupo de
.
Seja
o subespaço de
consistindo de todos os polinômios da forma
. Encontre uma base para
.
Dadas
e
a matriz identidade de ordem 2 .
(b) Se existir a matriz , tal que
(b) Se existir a matriz